Решай сотка

21. Построение графиков функций

а) \(y=-x^4\)

Таблица точек:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&-16&-1&0&-1&-16 \end{array} \]

График — симметричная относительно оси \(Oy\) ветвь, направленная вниз, с вершиной в точке \((0;0)\).

б) \(y=2x^5\)

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&-64&-2&0&2&64 \end{array} \]

График проходит через начало координат и является симметричным относительно начала координат.

в) \(y=x^2+4\)

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&8&5&4&5&8 \end{array} \]

График — парабола, направленная вверх, с вершиной:

\[ (0;4). \]

г) \(y=\sqrt[3]{x}\)

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-8&-1&0&1&8\\ \hline y&-2&-1&0&1&2 \end{array} \]

График проходит через точки \((-8;-2)\), \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;1)\), \((8;2)\).

22. Определение чётности функций

Функция является:

• чётной, если \(f(-x)=f(x)\);
• нечётной, если \(f(-x)=-f(x)\).

а) \(\displaystyle y=\frac{x-2}{x+4}\)

\[ f(-x)=\frac{-x-2}{-x+4}=\frac{x+2}{x-4}. \]

Полученное выражение не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\).

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

б) \(\displaystyle y=\frac{x^2+x+2}{x+3}\)

\[ f(-x)=\frac{x^2-x+2}{3-x}. \]

Это выражение не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\).

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

в) \(y=5x+4\)

\[ f(-x)=-5x+4. \]

\[ - f(x)=-(5x+4)=-5x-4. \]

Следовательно,

\[ f(-x)\ne f(x),\qquad f(-x)\ne -f(x). \]

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

Это вышло потому, что в № 21 нужно построить графики, а для этого удобно:

1. выбрать несколько значений \(x\);
2. подставить их в формулу;
3. получить точки \((x;y)\);
4. отметить точки на координатной плоскости и соединить плавной линией.

Например, для \(y=-x^4\):

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=-x^4&-16&-1&0&-1&-16 \end{array} \]

При \(x=2\):

\[ y=-2^4=-16. \]

При \(x=-2\):

\[ y=-(-2)^4=-16, \]

потому что четвёртая степень убирает знак «минус». Поэтому график симметричен относительно оси \(Oy\) и направлен вниз.

Значения \(x=-2,-1,0,1,2\) выбраны просто для удобства — можно брать и другие.