дорешать и объяснить. объяснение должно быть понятным и простым

Краткий ответ:

\[ x=\pi n,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. \]

На отрезке

\[ \frac{5\pi}{2}\le x\le \frac{7\pi}{2} \]

получаем:

\[ \boxed{x\in\left\{\frac{17\pi}{6},\,3\pi,\,\frac{19\pi}{6}\right\}}. \]

Решение

Дано:

\[ \sin 2x+\sqrt3\sin x=0. \]

Используем формулу:

\[ \sin 2x=2\sin x\cos x. \]

Тогда:

\[ 2\sin x\cos x+\sqrt3\sin x=0. \]

Выносим \(\sin x\) за скобки:

\[ \sin x(2\cos x+\sqrt3)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

1) Первый множитель

\[ \sin x=0. \]

Отсюда:

\[ x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. \]

На заданном отрезке:

\[ \frac{5\pi}{2}\le \pi n\le\frac{7\pi}{2}. \]

Делим на \(\pi\):

\[ \frac52\le n\le\frac72. \]

Целое число здесь только \(n=3\). Поэтому:

\[ x=3\pi. \]

2) Второй множитель

\[ 2\cos x+\sqrt3=0, \]

\[ \cos x=-\frac{\sqrt3}{2}. \]

Косинус равен \(-\frac{\sqrt3}{2}\) в двух точках:

\[ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n \]

или

\[ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n. \]

В записи на фото вторая серия решений

\[ \boxed{x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n} \]

пропущена.

Для первой серии:

\[ \frac{5\pi}{2}\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n\le\frac{7\pi}{2}. \]

Получается:

\[ \frac56\le n\le\frac43. \]

Подходит \(n=1\), значит:

\[ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi=\frac{17\pi}{6}. \]

Для второй серии:

\[ \frac{5\pi}{2}\le \frac{7\pi}{6}+2\pi n\le\frac{7\pi}{2}. \]

Получается:

\[ \frac23\le n\le\frac76. \]

Снова \(n=1\), поэтому:

\[ x=\frac{7\pi}{6}+2\pi=\frac{19\pi}{6}. \]

Ответ на отрезке:

\[ \boxed{x=\frac{17\pi}{6},\quad 3\pi,\quad \frac{19\pi}{6}}. \]

Проверка: все три числа дают либо \(\sin x=0\), либо \(\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\), поэтому исходное уравнение выполняется.