Виды функций и их свойства
Краткий ответ
Функция — это зависимость, при которой каждому допустимому значению \(x\) соответствует единственное значение \(y\).
В 9 классе чаще всего изучают такие функции:
| Вид функции | Формула | Основные свойства |
|---|---|---|
| Постоянная | \(y=b\) | График — горизонтальная прямая; функция не возрастает и не убывает |
| Линейная | \(y=kx+b,\ k\ne0\) | График — прямая; возрастает при \(k>0\), убывает при \(k<0\) |
| Прямая пропорциональность | \(y=kx\) | Частный случай линейной; график проходит через начало координат |
| Квадратичная | \(y=ax^2+bx+c,\ a\ne0\) | График — парабола; при \(a>0\) ветви вверх, при \(a<0\) — вниз |
| Обратная пропорциональность | \(y=\dfrac{k}{x},\ k\ne0\) | График — гипербола; \(x\ne0\), \(y\ne0\) |
Основные свойства функции
При исследовании функции обычно находят:
- Область определения — допустимые значения \(x\).
- Область значений — значения \(y\).
- Нули функции — значения \(x\), при которых \(y=0\).
- Промежутки возрастания и убывания.
- Наибольшее и наименьшее значения, если они существуют.
- Точки пересечения с осями координат.
Ключевые свойства основных функций
1. Линейная функция \(y=kx+b\)
- \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=\mathbb R\);
- при \(k>0\) функция возрастает;
- при \(k<0\) функция убывает;
- нуль функции:
\[ kx+b=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{b}{k}. \]
2. Квадратичная функция \(y=ax^2+bx+c\)
Координаты вершины параболы:
\[ x_0=-\frac{b}{2a}, \qquad y_0=f(x_0). \]
- ось симметрии: \(x=x_0\);
- если \(a>0\), вершина — точка минимума;
- если \(a<0\), вершина — точка максимума;
- область определения: \(\mathbb R\).
3. Обратная пропорциональность \(y=\dfrac{k}{x}\)
- \(x\ne0\);
- \(y\ne0\);
- если \(k>0\), ветви гиперболы расположены в I и III четвертях;
- если \(k<0\), ветви расположены во II и IV четвертях.
Пример исследования
Пусть
\[ f(x)=x^2-4x+3. \]
Здесь \(a=1\), \(b=-4\), \(c=3\).
1. Вершина:
\[ x_0=-\frac{-4}{2\cdot1}=2, \]
\[ y_0=f(2)=2^2-4\cdot2+3=-1. \]
Вершина: \((2;-1)\).
2. Ветви параболы:
Так как \(a=1>0\), ветви направлены вверх, поэтому \(y_{\min}=-1\).
3. Нули функции:
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3), \]
\[ x_1=1,\qquad x_2=3. \]
4. Промежутки монотонности:
- функция убывает на \((-\infty;2)\);
- функция возрастает на \((2;+\infty)\).
Проверка: \(f(1)=0\), \(f(3)=0\), а \(f(2)=-1\), значит найденные корни и вершина верны.
Главный принцип: сначала определи вид функции по формуле, затем используй свойства именно этого вида.
Обсуждение
2 сообщенияПромежутки возрастания и убывания Промежутки знакопосиоянства Промежутки монотонности я не поняла
Не страшно. Здесь нужно различать два разных вопроса о функции.
Представь, что движешься по графику слева направо:
- график идёт вверх — функция возрастает;
- график идёт вниз — функция убывает;
- график находится выше оси \(Ox\) — функция положительна;
- график находится ниже оси \(Ox\) — функция отрицательна.
Правильно: промежутки знакопостоянства.
1. Промежутки возрастания и убывания
Функция возрастает
Чем больше \(x\), тем больше \(y\).
Например, \(y=2x\):
\[ x: 1,\ 2,\ 3 \]
\[ y: 2,\ 4,\ 6 \]
Значения \(y\) увеличиваются, значит функция возрастает на всей числовой прямой.
Функция убывает
Чем больше \(x\), тем меньше \(y\).
Например, \(y=-x\):
\[ x: 1,\ 2,\ 3 \]
\[ y: -1,\ -2,\ -3 \]
Значения \(y\) уменьшаются, значит функция убывает.
2. Промежутки монотонности
Промежутки монотонности — это все промежутки, где функция:
- либо возрастает;
- либо убывает.
То есть это общее название для промежутков возрастания и убывания.
Например, для функции
\[ y=x^2 \]
- на \((-\infty;0]\) функция убывает;
- на \([0;+\infty)\) функция возрастает.
Значит, это и есть её промежутки монотонности.
3. Промежутки знакопостоянства
Они показывают, где функция сохраняет один знак:
- \(f(x)>0\) — функция положительна;
- \(f(x)<0\) — функция отрицательна.
Рассмотрим функцию:
\[ y=x^2-4. \]
Найдём нули:
\[ x^2-4=0, \]
\[ x=-2,\qquad x=2. \]
Эти точки делят числовую прямую на промежутки:
\[ (-\infty;-2),\quad (-2;2),\quad (2;+\infty). \]
Проверяем знаки:
- на \((-\infty;-2)\): \(y>0\);
- на \((-2;2)\): \(y<0\);
- на \((2;+\infty)\): \(y>0\).
Ответ:
\[ f(x)>0 \text{ на } (-\infty;-2)\cup(2;+\infty), \]
\[ f(x)<0 \text{ на } (-2;2). \]
Точки \(x=-2\) и \(x=2\) не входят в промежутки положительности и отрицательности, потому что там \(f(x)=0\).
Главное различие
| Что изучаем | На какой вопрос отвечаем |
|---|---|
| Возрастание и убывание | Как меняется \(y\), когда увеличивается \(x\)? |
| Монотонность | Где функция всё время возрастает или всё время убывает? |
| Знакопостоянство | Где функция выше или ниже оси \(Ox\)? |
Например, на промежутке \((-2;0)\) функция \(y=x^2-4\) отрицательна и убывает, а на \((0;2)\) — отрицательна и возрастает.
