Реши 7,8,9

Пришли, пожалуйста, ещё раз фото или перепиши условие задания 7 — сейчас его текст не отображается.

Это продолжение задания 7: ты прислал изображение с условием, которое нужно было уточнить.

Решение

Будем считать «уголком» фигуру из трёх клеток, образующую букву Г.

Докажем более сильное утверждение: квадрат \(2^n\times2^n\) с любой вырезанной клеткой можно замостить такими уголками.

База индукции: \(n=1\).
Квадрат \(2\times2\) с одной вырезанной клеткой состоит ровно из трёх клеток, которые сами образуют один уголок.

Шаг индукции.
Разделим квадрат \(2^n\times2^n\) на четыре равных квадрата \(2^{n-1}\times2^{n-1}\).

Пусть вырезанная клетка находится в одном из них. В центре большого квадрата находятся четыре клетки — по одной от каждого маленького квадрата. Закроем уголком три центральные клетки, принадлежащие трём квадратам, где исходной вырезанной клетки нет.

Теперь в каждом из четырёх маленьких квадратов имеется ровно по одной «вырезанной» клетке:

• в одном — исходная;
• в трёх остальных — клетка, закрытая центральным уголком.

По предположению индукции каждый маленький квадрат можно замостить уголками. Вместе с центральным уголком получаем замощение всего большого квадрата.

Следовательно, утверждение верно для любого \(n\).

• \(4\times4\): \(n=2\), нужно \( \frac{4^2-1}{3}=5\) уголков;
• \(8\times8\): \(n=3\), нужно \( \frac{8^2-1}{3}=21\) уголок;
• \(16\times16\): \(n=4\), нужно \( \frac{16^2-1}{3}=85\) уголков.

Таким образом, доказаны пункты а–д, включая случай, когда вырезана произвольная клетка.