реши 7
Рассмотрение размещений L-тромино
Я работаю над доказательством размещения L-тромино посредством покрытия центральных клеток в квадрантах. В каждом квадранте одна клетка будет отсутствовать. Мне следует применить индукцию, начав с n=1 для сетки 2x2, а затем перейти к сеткам большего размера, таким как 4x4, 8x8 и вплоть до 2^n. Следует указать, что все конфигурации, особенно при больших n, должны быть должным образом рассмотрены, а также подсчитать оставшиеся клетки, чтобы убедиться, что их количество делится на три. Какая увлекательная головоломка!
Решение. Докажем общий случай \(2^n\times2^n\).
При \(n=1\): квадрат \(2\times2\) без одной клетки сам является уголком.
Разобьём квадрат \(2^n\times2^n\) на четыре квадрата \(2^{n-1}\times2^{n-1}\). В одном из них находится вырезанная клетка. В трёх остальных центральные клетки объединим в один уголок. Теперь в каждом из четырёх квадратов имеется по одной «вырезанной» клетке, поэтому по индукции каждый из них разрезается на уголки.
Следовательно, утверждение верно для \(4\times4\), \(8\times8\), \(16\times16\) и любого \(2^n\times2^n\). Произвольная вырезанная клетка также не меняет доказательство.
