Реши задание на изображении
Объяснение решений с помощью векторов
Итак, я хочу представить решение с помощью векторов без чрезмерного количества ссылок. Мне нужно убедиться в точности, особенно при повторной проверке формулировок. Речь идёт о нахождении косинуса угла между прямыми \(AB_1\) и \(DC_1\) в данной призме. Я понял, что вектор \(OC\) параллелен \(AB\), и мне следует тщательно проверить расположение координат. Похоже, все ожидают аккуратного и точного объяснения взаимосвязей между этими векторами!
Вычисление размеров треугольника
Я рассматриваю треугольник \(OB_1C_1\) и угол при точке O, образованный этими лучами. Я вижу, что \(OB\) и \(OC\) равны 1, поскольку радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен длине его стороны. Высоты \(BB_1\) и \(CC_1\) также равны 1. Поскольку это прямая призма, треугольники \(OBB_1\) и \(OCC_1\) действительно являются прямоугольными.
Краткий ответ:
\[
\boxed{\cos\varphi=\frac34}
\]
Пусть \(O\) — центр нижнего основания правильной шестиугольной призмы.
В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне, поэтому: \[ OB=OC=1. \] Высота призмы также равна \(1\). Так как призма прямая: \[ OB_1=OC_1=\sqrt{OB^2+BB_1^2} =\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2. \]
В правильном шестиугольнике: \[ AB_1\parallel OC_1,\qquad DC_1\parallel OB_1. \] Значит, искомый угол равен \(\angle B_1OC_1\).
Кроме того, \[ B_1C_1=BC=1. \]
По теореме косинусов в треугольнике \(B_1OC_1\): \[ \cos\varphi= \frac{OB_1^2+OC_1^2-B_1C_1^2} {2\cdot OB_1\cdot OC_1} = \frac{2+2-1}{2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2} =\frac{3}{4}. \]
Проверка: \(\frac34\in(0;1)\), значит угол острый, что соответствует рисунку.
