сделай 113,114

Краткий ответ

113

а) \(x^3=x+1\):
\[ x\approx1{,}325. \]

б) \(x^3=2x\):
\[ x\in\{-\sqrt2;\,0;\,\sqrt2\}. \]

в) \(x^3=2x+1\):
\[ x\in\left\{-1;\,\frac{1-\sqrt5}{2};\,\frac{1+\sqrt5}{2}\right\}. \]

114

а) \(y=x^2+1\) — парабола, ветви вверх, вершина \((0;1)\).

б) \(y=-x^2+4\) — парабола, ветви вниз, вершина \((0;4)\).

---

113. Решение с помощью графика \(y=x^3\)

Уравнение решается по абсциссам точек пересечения графиков \(y=x^3\) и правой части уравнения.

а) \(x^3=x+1\)

Сравниваем графики:

\[ y=x^3,\qquad y=x+1. \]

Они пересекаются примерно при

\[ \boxed{x\approx1{,}325}. \]

Проверка:

\[ 1{,}325^3\approx2{,}326,\qquad 1{,}325+1=2{,}325. \]

Значения практически совпадают.

---

б) \(x^3=2x\)

\[ x^3-2x=0, \]

\[ x(x^2-2)=0. \]

Отсюда

\[ x=0\quad\text{или}\quad x^2=2. \]

Следовательно,

\[ \boxed{x=-\sqrt2;\;0;\;\sqrt2}. \]

---

в) \(x^3=2x+1\)

Перенесём всё в левую часть:

\[ x^3-2x-1=0. \]

Разложим на множители:

\[ x^3-2x-1=(x+1)(x^2-x-1). \]

Тогда

\[ x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1, \]

\[ x^2-x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=-1;\;\frac{1-\sqrt5}{2};\;\frac{1+\sqrt5}{2}}. \]

---

114. Построение и свойства функций

а) \(y=x^2+1\)

Составим таблицу точек:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&5&2&1&2&5 \end{array} \]

По этим точкам строится парабола с вершиной

\[ \boxed{(0;1)}. \]

Ветви направлены вверх, ось симметрии — ось \(Oy\).

Свойства:

• область определения: \[ D(y)=(-\infty;+\infty); \]
• область значений: \[ E(y)=[1;+\infty); \]
• функция убывает на \((-\infty;0]\);
• функция возрастает на \([0;+\infty)\);
• наименьшее значение: \[ y_{\min}=1 \quad\text{при }x=0; \]
• нулей нет, так как \(x^2+1>0\);
• функция чётная: \[ f(-x)=f(x). \]

---

б) \(y=-x^2+4\)

Составим таблицу точек:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&0&3&4&3&0 \end{array} \]

Получается парабола с вершиной

\[ \boxed{(0;4)}. \]

Ветви направлены вниз, ось симметрии — ось \(Oy\).

Свойства:

• область определения: \[ D(y)=(-\infty;+\infty); \]
• область значений: \[ E(y)=(-\infty;4]; \]
• функция возрастает на \((-\infty;0]\);
• функция убывает на \([0;+\infty)\);
• наибольшее значение: \[ y_{\max}=4 \quad\text{при }x=0; \]
• нули функции: \[ -x^2+4=0 \Rightarrow x=\pm2; \]
• функция положительна при \[ -2<x<2; \]
• функция отрицательна при \[ x<-2 \quad\text{или}\quad x>2; \]
• функция чётная: \[ f(-x)=f(x). \]