Вектор сложение и вычитание векторов
Краткий ответ
Сложение:
\[ \vec a+\vec b \] — переносим начало \(\vec b\) в конец \(\vec a\); результирующий вектор соединяет начало \(\vec a\) с концом перенесённого \(\vec b\).Вычитание:
\[ \vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b), \] где \(-\vec b\) имеет ту же длину, что и \(\vec b\), но противоположное направление.Если векторы заданы координатами: \[ \vec a=(x_1;y_1),\qquad \vec b=(x_2;y_2), \] то \[ \vec a+\vec b=(x_1+x_2;\,y_1+y_2), \] \[ \vec a-\vec b=(x_1-x_2;\,y_1-y_2). \]
1. Сложение по правилу треугольника
Чтобы найти \(\vec a+\vec b\):
- Нарисуй \(\vec a\).
- Перенеси \(\vec b\) так, чтобы его начало совпало с концом \(\vec a\).
- Проведи вектор от начала \(\vec a\) до конца \(\vec b\).
Например: \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}. \]
2. Сложение по координатам
Пусть \[ \vec a=(3;-2),\qquad \vec b=(-1;5). \]
Тогда: \[ \vec a+\vec b=(3+(-1);\,-2+5)=(2;3). \]
3. Вычитание векторов
Пусть нужно найти: \[ \vec a-\vec b. \]
Сначала меняем направление \(\vec b\): \[ -\vec b=(1;-5). \]
Затем складываем: \[ \vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b) =(3;-2)+(1;-5)=(4;-7). \]
Как проверить результат
Для разности должно выполняться: \[ (\vec a-\vec b)+\vec b=\vec a. \]
Проверим: \[ (4;-7)+(-1;5)=(3;-2)=\vec a. \]
Значит, вычисление выполнено верно.
Главное правило: при сложении и вычитании координатных векторов действия выполняются отдельно с первыми и вторыми координатами.
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни что такое вектор
Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, у которого есть:
- длина;
- направление.
Вектор обозначают стрелкой над буквами:
\[ \overrightarrow{AB} \]
Здесь \(A\) — начало вектора, \(B\) — конец.
Пример
Если человек прошёл 3 м вправо и 2 м вверх, его перемещение можно представить вектором:
\[ \vec a=(3;2). \]
Числа \(3\) и \(2\) — координаты вектора.
Длина вектора называется модулем и обозначается так:
\[ |\vec a|. \]
Для \(\vec a=(3;4)\):
\[ |\vec a|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5. \]
Важно
- \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\) имеют одинаковую длину, но противоположные направления.
- Вектор можно переносить параллельно самому себе — его длина и направление не изменятся.
- Вектор отличается от точки: точка показывает положение, а вектор — направление и величину перемещения.
