Краткий ответ

Вектор — это направленный отрезок, у которого есть:

• длина;
• направление.

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) направлен из точки \(A\) в точку \(B\).

Если \(\vec a=(x;y)\), то:

\[ |\vec a|=\sqrt{x^2+y^2} \]

\[ \vec a+\vec b=(x_1+x_2;\,y_1+y_2) \]

\[ \vec a-\vec b=(x_1-x_2;\,y_1-y_2) \]

\[ k\vec a=(kx;\,ky) \]

Для точек \(A(x_A;y_A)\) и \(B(x_B;y_B)\):

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A) \]

Главные свойства:

\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \]

\[ \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} \]

\[ \vec a\perp\vec b \Longleftrightarrow \vec a\cdot\vec b=0 \]

---

1. Что такое вектор

Вектор обозначают:

\[ \overrightarrow{AB},\quad \vec a,\quad \vec b \]

У вектора \(\overrightarrow{AB}\):

• \(A\) — начало;
• \(B\) — конец;
• стрелка показывает направление;
• длина равна длине отрезка \(AB\):

\[ |\overrightarrow{AB}|=AB \]

Важно:

• \(AB\) — обычно длина отрезка;
• \(\overrightarrow{AB}\) — вектор, у которого есть направление.

Например, \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\) имеют одинаковую длину, но противоположные направления:

\[ \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} \]

---

2. Нулевой вектор

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым:

\[ \overrightarrow{AA}=\vec 0 \]

Его длина равна нулю:

\[ |\vec 0|=0 \]

У нулевого вектора нет определённого направления.

---

3. Равные и противоположные векторы

Равные векторы

Два вектора равны, если у них:

1. одинаковая длина;
2. одинаковое направление.

Например:

\[ \vec a=\vec b \]

Расположение векторов на плоскости не имеет значения: вектор можно параллельно перенести, и он не изменится.

Противоположные векторы

Векторы \(\vec a\) и \(-\vec a\) называются противоположными.

У них:

• одинаковые длины;
• противоположные направления.

\[ |-\vec a|=|\vec a| \]

---

4. Коллинеарные векторы

Коллинеарные векторы лежат на параллельных или одной прямой.

Например:

\[ \vec b=k\vec a \]

Тогда \(\vec a\) и \(\vec b\) коллинеарны.

• если \(k>0\), векторы сонаправлены;
• если \(k<0\), векторы противоположно направлены.

Пример:

\[ \vec b=3\vec a \]

Векторы сонаправлены, а \(\vec b\) в три раза длиннее.

\[ \vec c=-2\vec a \]

Векторы направлены противоположно, а длина \(\vec c\) в два раза больше.

---

5. Сложение векторов

Правило треугольника

Чтобы сложить \(\vec a\) и \(\vec b\):

1. отложить \(\vec b\) от конца \(\vec a\);
2. соединить начало первого вектора с концом второго.

Если

\[ \vec a=\overrightarrow{AB},\qquad \vec b=\overrightarrow{BC}, \]

то

\[ \vec a+\vec b=\overrightarrow{AC}. \]

Главное правило:

\[ \boxed{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}} \]

Правило параллелограмма

Если два вектора имеют общее начало, их можно сложить по правилу параллелограмма. Диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала, является суммой векторов.

Свойства сложения

\[ \vec a+\vec b=\vec b+\vec a \]

\[ (\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c) \]

\[ \vec a+\vec 0=\vec a \]

\[ \vec a+(-\vec a)=\vec 0 \]

---

6. Вычитание векторов

Вычитание заменяют сложением с противоположным вектором:

\[ \boxed{\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)} \]

Если \(\vec a=\overrightarrow{OA}\), а \(\vec b=\overrightarrow{OB}\), то:

\[ \vec a-\vec b=\overrightarrow{BA} \]

---

7. Умножение вектора на число

При умножении вектора \(\vec a\) на число \(k\) получается вектор \(k\vec a\).

Его длина:

\[ |k\vec a|=|k|\cdot|\vec a| \]

Направление:

• при \(k>0\) сохраняется;
• при \(k<0\) меняется на противоположное;
• при \(k=0\) получается нулевой вектор.

Примеры:

\[ 2\vec a \]

имеет ту же направленность, но в два раза большую длину;

\[ -\frac12\vec a \]

направлен противоположно и в два раза короче.

---

8. Координаты вектора

Если

\[ \vec a=(x;y), \]

то \(x\) и \(y\) — координаты вектора:

• \(x\) показывает изменение по горизонтали;
• \(y\) показывает изменение по вертикали.

Например:

\[ \vec a=(3;4) \]

означает: пройти 3 единицы вправо и 4 единицы вверх.

Операции с координатами

Пусть

\[ \vec a=(x_1;y_1),\qquad \vec b=(x_2;y_2). \]

Тогда:

\[ \vec a+\vec b=(x_1+x_2;\,y_1+y_2) \]

\[ \vec a-\vec b=(x_1-x_2;\,y_1-y_2) \]

\[ k\vec a=(kx_1;\,ky_1) \]

Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты:

\[ (x_1;y_1)=(x_2;y_2) \]

если

\[ x_1=x_2,\qquad y_1=y_2. \]

---

9. Координаты вектора по координатам точек

Пусть:

\[ A(x_A;y_A),\qquad B(x_B;y_B). \]

Тогда:

\[ \boxed{\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A)} \]

Из координат конечной точки вычитаем координаты начальной.

Например:

\[ A(2;-1),\qquad B(5;3). \]

Тогда:

\[ \overrightarrow{AB}=(5-2;\,3-(-1))=(3;4). \]

---

10. Длина вектора

Если

\[ \vec a=(x;y), \]

то по теореме Пифагора:

\[ \boxed{|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}} \]

Для вектора \(\overrightarrow{AB}\):

\[ AB=|\overrightarrow{AB}| =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \]

Пример:

\[ \vec a=(3;4). \]

Тогда:

\[ |\vec a|=\sqrt{3^2+4^2} =\sqrt{9+16} =\sqrt{25}=5. \]

---

11. Скалярное произведение

Скалярным произведением векторов \(\vec a\) и \(\vec b\) называют число:

\[ \vec a\cdot\vec b \]

Если

\[ \vec a=(x_1;y_1),\qquad \vec b=(x_2;y_2), \]

то:

\[ \boxed{\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2} \]

Также:

\[ \vec a\cdot\vec b =|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\alpha, \]

где \(\alpha\) — угол между векторами.

Перпендикулярность

Для ненулевых векторов:

\[ \boxed{\vec a\perp\vec b \Longleftrightarrow \vec a\cdot\vec b=0} \]

В координатах:

\[ x_1x_2+y_1y_2=0. \]

Пример:

\[ \vec a=(2;1),\qquad \vec b=(-1;2). \]

\[ \vec a\cdot\vec b=2\cdot(-1)+1\cdot2=-2+2=0. \]

Значит:

\[ \vec a\perp\vec b. \]

---

12. Условие параллельности по координатам

Пусть:

\[ \vec a=(x_1;y_1),\qquad \vec b=(x_2;y_2). \]

Векторы параллельны, если один является числовым множителем другого:

\[ \vec b=k\vec a. \]

Также можно использовать условие:

\[ \boxed{x_1y_2-y_1x_2=0} \]

Пример:

\[ \vec a=(2;3),\qquad \vec b=(4;6). \]

\[ 2\cdot6-3\cdot4=12-12=0. \]

Следовательно, векторы параллельны.

---

13. Разложение вектора по координатным векторам

Обозначим единичные координатные векторы:

\[ \vec i=(1;0),\qquad \vec j=(0;1). \]

Тогда любой вектор

\[ \vec a=(x;y) \]

можно записать так:

\[ \boxed{\vec a=x\vec i+y\vec j} \]

Например:

\[ (3;4)=3\vec i+4\vec j. \]

Это означает, что вектор состоит из горизонтальной части \(3\vec i\) и вертикальной части \(4\vec j\).

---

14. Радиус-вектор точки

Если \(O\) — начало координат, то вектор

\[ \overrightarrow{OA} \]

называют радиус-вектором точки \(A\).

Если

\[ A(x_A;y_A), \]

то:

\[ \overrightarrow{OA}=(x_A;y_A). \]

Для любых точек \(A\) и \(B\):

\[ \boxed{\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}} \]

---

15. Середина отрезка с помощью векторов

Если \(M\) — середина отрезка \(AB\), то:

\[ \overrightarrow{AM} =\frac12\overrightarrow{AB} \]

и

\[ \overrightarrow{MB} =\frac12\overrightarrow{AB}. \]

Если

\[ A(x_A;y_A),\qquad B(x_B;y_B), \]

то координаты середины:

\[ \boxed{ M\left( \frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2} \right) } \]

---

16. Разбор примера

Даны точки:

\[ A(1;2),\qquad B(4;6),\qquad C(6;5). \]

Найдём векторы

\[ \overrightarrow{AB}=(4-1;\,6-2)=(3;4), \]

\[ \overrightarrow{BC}=(6-4;\,5-6)=(2;-1), \]

\[ \overrightarrow{AC}=(6-1;\,5-2)=(5;3). \]

Проверим правило треугольника:

\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =(3;4)+(2;-1) =(5;3). \]

Получили:

\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AC}. \]

Длина \(\overrightarrow{AB}\):

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2}=5. \]

---

17. Как решать задачи на векторы

1. Определи направление: откуда идёт вектор и куда.

2. Если даны координаты точек, используй:

   \[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A). \]

3. Если векторы стоят «цепочкой», используй:

   \[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AC}. \]

4. Для длины используй:

   \[ |\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}. \]

5. Для параллельности проверь пропорциональность координат.

6. Для перпендикулярности вычисли скалярное произведение.

7. В конце проверь знаки координат и направление стрелок.

---

Частые ошибки

1. Путать \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\):

   \[ \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}. \]

2. При нахождении \(\overrightarrow{AB}\) вычитать координаты в неправильном порядке. Нужно:

   \[ \text{конец} - \text{начало}. \]

3. Складывать длины вместо координат. Правильно:

   \[ (2;3)+(4;-1)=(6;2), \]

   а не \(2+3+4-1\).

4. Считать, что \(|\vec a+\vec b|=|\vec a|+|\vec b|\). Это верно не всегда.

5. Забывать, что у противоположного вектора меняются оба знака:

   \[ -(x;y)=(-x;-y). \]

Самая короткая шпаргалка

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A) \]

\[ |\vec a|=\sqrt{x^2+y^2} \]

\[ \vec a+\vec b=(x_1+x_2;\,y_1+y_2) \]

\[ \vec a-\vec b=(x_1-x_2;\,y_1-y_2) \]

\[ k\vec a=(kx;ky) \]

\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AC} \]

\[ \vec a\perp\vec b \Longleftrightarrow \vec a\cdot\vec b=0 \]

\[ \vec a\parallel\vec b \Longleftrightarrow x_1y_2-y_1x_2=0 \]