Объясни, как решать 762-763.
Краткий ответ
762. Из центра \(O\) проведите луч под указанным углом к \(OA\). Точка пересечения этого луча с окружностью — точка \(B\).
- а) \(\angle AOB=60^\circ\);
- б) \(\angle AOB=90^\circ\);
- в) \(\angle AOB=120^\circ\);
- г) \(\angle AOB=180^\circ\): \(AB\) — диаметр.
763.
\[ \text{а) }AB=16;\qquad \text{б) }AB=16\sqrt2;\qquad \text{в) }AB=32. \]
Как выполнить построение 762
- Начертите окружность с центром \(O\) и отметьте точку \(A\).
- Проведите из \(O\) луч, образующий с \(OA\) нужный угол.
- Вторую точку пересечения луча с окружностью обозначьте \(B\).
Построение без транспортира:
- \(60^\circ\): циркулем с центром \(A\) и радиусом \(OA\) отметьте на окружности точку \(B\). Тогда \(OA=OB=AB\), поэтому угол равен \(60^\circ\).
- \(90^\circ\): проведите через \(O\) перпендикуляр к \(OA\). Его пересечение с окружностью — точка \(B\).
- \(120^\circ\): постройте два последовательных угла по \(60^\circ\).
- \(180^\circ\): проведите прямую \(AO\) и продолжите её за точку \(O\). Второе пересечение с окружностью — точка \(B\).
Решение 763
Радиусы равны:
\[ OA=OB=16. \]
Поэтому \(AOB\) — равнобедренный треугольник.
а) \(\angle AOB=60^\circ\).
Все углы треугольника равны \(60^\circ\), значит, он равносторонний:
\[ AB=OA=16. \]
б) \(\angle AOB=90^\circ\).
Треугольник \(AOB\) — прямоугольный, причём \(OA\) и \(OB\) — его катеты:
\[ AB^2=OA^2+OB^2=16^2+16^2=512, \]
\[ AB=\sqrt{512}=16\sqrt2. \]
в) \(\angle AOB=180^\circ\).
Точки \(A,O,B\) лежат на одной прямой, поэтому \(AB\) — диаметр:
\[ AB=2R=2\cdot16=32. \]
Проверка: длина хорды не превосходит диаметра \(32\), и значения \(16\), \(16\sqrt2\approx22{,}6\), \(32\) возрастают вместе с центральным углом.
