Реши задачу на фотке под номером 30, это 9 класс
Краткий ответ:
\[
\boxed{\sin\alpha=\frac{\sqrt5}{5}}
\]
где \(\alpha\) — меньший острый угол.
Решение
Так как \(CM\) — медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника, то:
\[ CM=\frac{AB}{2}. \]
Следовательно,
\[ AB=2\cdot15=30. \]
Обозначим катеты \(AC=x\) и \(BC=y\).
Площадь треугольника можно выразить двумя способами:
\[ S=\frac12xy=\frac12\cdot AB\cdot CH. \]
Отсюда:
\[ xy=30\cdot12=360. \]
По теореме Пифагора:
\[ x^2+y^2=30^2=900. \]
Тогда:
\[ (x-y)^2=x^2+y^2-2xy=900-720=180, \]
\[ |x-y|=6\sqrt5. \]
Также:
\[ (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=900+720=1620, \]
\[ x+y=18\sqrt5. \]
Значит, катеты равны:
\[ x=12\sqrt5,\qquad y=6\sqrt5. \]
Меньшему острому углу противолежит меньший катет \(6\sqrt5\). Поэтому:
\[ \sin\alpha=\frac{6\sqrt5}{30} =\boxed{\frac{\sqrt5}{5}}. \]
Проверка высоты:
\[ \frac{12\sqrt5\cdot6\sqrt5}{30}=12. \]
Обсуждение
2 сообщенияможешь решить легким способ
Да. Решим коротко.
- \(CM\) — медиана к гипотенузе, поэтому гипотенуза:
\[ AB=2CM=2\cdot15=30. \]
- Пусть катеты равны \(a\) и \(b\). По площади:
\[ \frac12ab=\frac12\cdot AB\cdot CH \]
\[ ab=30\cdot12=360. \]
- По теореме Пифагора:
\[ a^2+b^2=30^2=900. \]
Найдём катеты:
\[ (a+b)^2=900+2\cdot360=1620, \]
\[ a+b=18\sqrt5. \]
\[ (a-b)^2=900-2\cdot360=180, \]
\[ a-b=6\sqrt5. \]
Тогда меньший катет:
\[ a=\frac{18\sqrt5-6\sqrt5}{2}=6\sqrt5. \]
- Синус меньшего угла — это отношение меньшего катета к гипотенузе:
\[ \sin\alpha=\frac{6\sqrt5}{30} =\boxed{\frac{\sqrt5}{5}}. \]
