65,68
Краткий ответ
№ 65
Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\).
а) \(\angle hk=70^\circ,\ \angle kl=110^\circ\);
б) \(\angle hk=150^\circ,\ \angle kl=30^\circ\);
в) \(\angle hk=113^\circ39',\ \angle kl=66^\circ21'\);
г) \(\angle hk=135^\circ,\ \angle kl=45^\circ\);
д) \(\angle hk=100^\circ,\ \angle kl=80^\circ\).
№ 68
а) Если \(\angle2=117^\circ\), то:
\[ \angle1=63^\circ,\quad \angle3=63^\circ,\quad \angle4=117^\circ. \]
б) Если \(\angle3=43^\circ27'\), то:
\[ \angle1=43^\circ27',\quad \angle2=136^\circ33',\quad \angle4=136^\circ33'. \]
Решение
№ 65
Обозначим:
\[ \angle hk=x,\qquad \angle kl=y. \]
Так как углы смежные,
\[ x+y=180^\circ. \]
а) \(x\) меньше \(y\) на \(40^\circ\):
\[ x=y-40^\circ. \]
Тогда:
\[ y-40^\circ+y=180^\circ, \]
\[ 2y=220^\circ,\quad y=110^\circ,\quad x=70^\circ. \]
б) \(x\) больше \(y\) на \(120^\circ\):
\[ x=y+120^\circ. \]
\[ y+120^\circ+y=180^\circ, \]
\[ 2y=60^\circ,\quad y=30^\circ,\quad x=150^\circ. \]
в) \(x\) больше \(y\) на \(47^\circ18'\):
\[ x=y+47^\circ18'. \]
\[ 2y+47^\circ18'=180^\circ, \]
\[ 2y=132^\circ42', \]
\[ y=66^\circ21',\quad x=113^\circ39'. \]
г) \(x=3y\):
\[ 3y+y=180^\circ, \]
\[ 4y=180^\circ,\quad y=45^\circ,\quad x=135^\circ. \]
д) \(x:y=5:4\). Пусть \(x=5t,\ y=4t\). Тогда:
\[ 5t+4t=180^\circ, \]
\[ 9t=180^\circ,\quad t=20^\circ. \]
Значит,
\[ x=100^\circ,\qquad y=80^\circ. \]
Во всех случаях сумма углов равна \(180^\circ\).
№ 68
При пересечении двух прямых:
- вертикальные углы равны;
- смежные углы в сумме дают \(180^\circ\).
а) Углы \(2\) и \(4\) — вертикальные:
\[ \angle4=117^\circ. \]
Углы \(1\) и \(3\) смежные с углом \(2\):
\[ \angle1=\angle3=180^\circ-117^\circ=63^\circ. \]
б) Углы \(1\) и \(3\) — вертикальные:
\[ \angle1=43^\circ27'. \]
Углы \(2\) и \(4\) смежные с углом \(3\):
\[ \angle2=\angle4=180^\circ-43^\circ27'=136^\circ33'. \]
Обсуждение
3 сообщения85,86
№ 85
Дано:
\[ \angle AOB=120^\circ,\qquad \angle BOC=150^\circ. \]
Возможны два случая.
- Лучи \(OA\) и \(OC\) расположены по одну сторону от луча \(OB\):
\[ \angle AOC=150^\circ-120^\circ=30^\circ. \]
- Лучи \(OA\) и \(OC\) расположены по разные стороны от луча \(OB\). Тогда сумма данных углов равна \(270^\circ\), поэтому меньший угол \(AOC\):
\[ \angle AOC=360^\circ-270^\circ=90^\circ. \]
Ответ:
\[ \boxed{30^\circ\ \text{или}\ 90^\circ}. \]
№ 86
Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\).
а) Один угол на \(45^\circ\) больше другого
Пусть меньший угол \(x^\circ\), тогда больший — \((x+45)^\circ\).
\[ x+x+45=180, \]
\[ 2x=135,\qquad x=67{,}5^\circ=67^\circ30'. \]
Больший угол:
\[ 67^\circ30'+45^\circ=112^\circ30'. \]
Ответ:
\[ \boxed{67^\circ30'\ \text{и}\ 112^\circ30'}. \]
б) Разность углов равна \(35^\circ\)
Пусть меньший угол \(x^\circ\), больший — \((x+35)^\circ\).
\[ x+x+35=180, \]
\[ 2x=145,\qquad x=72{,}5^\circ=72^\circ30'. \]
Больший угол:
\[ 72^\circ30'+35^\circ=107^\circ30'. \]
Ответ:
\[ \boxed{72^\circ30'\ \text{и}\ 107^\circ30'}. \]
