Реши задание на изображении
Краткий ответ:
а) \[ \frac{x-y}{xy}-\frac{x-z}{xz}=\frac{z-y}{yz} \]
б) \[ \frac{a-2b}{3b}-\frac{b-2a}{3a} =\frac{a^2-b^2}{3ab} =\frac{(a-b)(a+b)}{3ab} \]
в) \[ \frac{p-q}{p^3q^2}-\frac{p+q}{p^2q^3} =-\frac{p^2+q^2}{p^3q^3} \]
г) \[ \frac{3m-n}{3m^2n}-\frac{2n-m}{2mn^2} =\frac{3m^2-2n^2}{6m^2n^2} \]
Как решать
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями:
- Найти общий знаменатель.
- Домножить числители на недостающие множители.
- Вычесть числители, заключая второй в скобки.
- Раскрыть скобки и сократить дробь.
а) Общий знаменатель — \(xyz\):
\[ \frac{x-y}{xy}-\frac{x-z}{xz} =\frac{z(x-y)-y(x-z)}{xyz} \]
\[ =\frac{xz-yz-xy+yz}{xyz} =\frac{x(z-y)}{xyz} =\frac{z-y}{yz}. \]
б) Общий знаменатель — \(3ab\):
\[ \frac{a-2b}{3b}-\frac{b-2a}{3a} =\frac{a(a-2b)-b(b-2a)}{3ab} \]
\[ =\frac{a^2-2ab-b^2+2ab}{3ab} =\frac{a^2-b^2}{3ab}. \]
в) Общий знаменатель — \(p^3q^3\):
\[ \frac{p-q}{p^3q^2}-\frac{p+q}{p^2q^3} =\frac{q(p-q)-p(p+q)}{p^3q^3} \]
\[ =\frac{pq-q^2-p^2-pq}{p^3q^3} =-\frac{p^2+q^2}{p^3q^3}. \]
г) Общий знаменатель — \(6m^2n^2\):
\[ \frac{3m-n}{3m^2n}-\frac{2n-m}{2mn^2} =\frac{2n(3m-n)-3m(2n-m)}{6m^2n^2} \]
\[ =\frac{6mn-2n^2-6mn+3m^2}{6m^2n^2} =\frac{3m^2-2n^2}{6m^2n^2}. \]
Проверка на примере пункта а):
\[ \frac{x-y}{xy}=\frac1y-\frac1x,\qquad \frac{x-z}{xz}=\frac1z-\frac1x, \]
поэтому разность равна
\[ \frac1y-\frac1z=\frac{z-y}{yz}, \]
что совпадает с ответом.
Ограничения: \(x,y,z\ne0\); \(a,b\ne0\); \(p,q\ne0\); \(m,n\ne0\).
