Реши

Краткий ответ: \(\boxed{1597}\).

Обозначим старт буквой \(С\), а посадку — \(П\). Введём величину

\[ h=\text{число стартов}-\text{число посадок}. \]

Она показывает, сколько кораблей сейчас ожидают посадки.

• По первому правилу \(h\ge 0\): посадок не может быть больше стартов.
• По второму правилу \(h\le 3\): в зоне ожидания не более трёх кораблей.
• В начале и в конце \(h=0\).
• Всего событий \(2N=18\).

То есть нужно посчитать пути по уровням \(0,1,2,3\), где старт повышает уровень на 1, а посадка понижает на 1.

Пусть \(a_{k,h}\) — число допустимых последовательностей из \(k\) событий, после которых уровень равен \(h\). Тогда

\[ a_{0,0}=1, \qquad a_{k+1,h}=a_{k,h-1}+a_{k,h+1}, \]

причём уровни ниже \(0\) и выше \(3\) не учитываются.

Получаем:

\[ \begin{array}{c|c} k&(a_{k,0},a_{k,1},a_{k,2},a_{k,3})\\ \hline 0&(1,0,0,0)\\ 2&(1,0,1,0)\\ 4&(2,0,3,0)\\ 6&(5,0,8,0)\\ 8&(13,0,21,0)\\ 10&(34,0,55,0)\\ 12&(89,0,144,0)\\ 14&(233,0,377,0)\\ 16&(610,0,987,0)\\ 18&(1597,0,2584,0) \end{array} \]

После 18 событий нужен уровень \(h=0\), поэтому число подходящих лент равно

\[ \boxed{a_{18,0}=1597}. \]

Проверка: конечный уровень \(0\) означает, что стартов и посадок поровну, то есть по \(9\), а все промежуточные уровни лежат от \(0\) до \(3\), значит оба правила выполнены.