Сделай 4 задание с решением
Краткий ответ
а)
\[
X=\begin{pmatrix}16&-32\\-6&13\end{pmatrix}.
\]
б)
\[
X=\begin{pmatrix}
x&y\\
2-2x&1-2y
\end{pmatrix},\qquad x,y\in\mathbb R.
\]
Решений бесконечно много.
в) Решений нет.
г)
\[
X=\begin{pmatrix}
-1&0&2\\[2pt]
-\frac43&\frac73&\frac23\\[2pt]
-\frac53&-\frac13&\frac{10}3
\end{pmatrix}.
\]
д)
\[
X=\begin{pmatrix}24&13\\-34&-18\end{pmatrix}.
\]
е)
\[
X=\begin{pmatrix}0&\frac16\\0&0\end{pmatrix}.
\]
Решение
Основные правила:
\[ AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B, \]
\[ XA=B\Rightarrow X=BA^{-1}, \]
\[ AXB=C\Rightarrow X=A^{-1}CB^{-1}. \]
Они применяются, если соответствующие матрицы обратимы.
а)
\[ \begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}X= \begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix}. \]
Найдём обратную матрицу:
\[ \begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}5&-2\\-2&1\end{pmatrix}, \]
так как определитель равен \(1\). Тогда
\[ X= \begin{pmatrix}5&-2\\-2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix}. \]
Перемножаем:
\[ X= \begin{pmatrix} 5\cdot4-2\cdot2&5\cdot(-6)-2\cdot1\\ -2\cdot4+1\cdot2&(-2)\cdot(-6)+1\cdot1 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix}16&-32\\-6&13\end{pmatrix}}. \]
Проверка:
\[ \begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}16&-32\\-6&13\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&-6\\2&1\end{pmatrix}. \]
б)
Пусть
\[ X=\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix}. \]
Тогда
\[ \begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x+z&2y+t\\ 2x+z&2y+t \end{pmatrix}. \]
По условию это равно
\[ \begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}. \]
Получаем:
\[ 2x+z=2,\qquad 2y+t=1. \]
Отсюда
\[ z=2-2x,\qquad t=1-2y. \]
Следовательно,
\[ \boxed{ X= \begin{pmatrix} x&y\\ 2-2x&1-2y \end{pmatrix} }, \qquad x,y\in\mathbb R. \]
в)
\[ X\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. \]
Но
\[ \det\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}=2-2=0. \]
Если бы решение существовало, то
\[ \det(XA)=\det X\cdot\det A=0, \]
а
\[ \det I=1. \]
Получили противоречие. Поэтому
\[ \boxed{\text{решений нет}}. \]
г)
Обозначим
\[ C= \begin{pmatrix} 1&-1&-1\\ 2&1&0\\ 1&-1&1 \end{pmatrix}, \qquad D= \begin{pmatrix} 1&-1&3\\ 4&3&2\\ 1&-2&5 \end{pmatrix}. \]
Уравнение имеет вид \(XC=D\), поэтому
\[ X=DC^{-1}. \]
Обратная матрица:
\[ C^{-1}= \begin{pmatrix} \frac16&\frac13&\frac16\\ -\frac13&\frac13&-\frac13\\ -\frac12&0&\frac12 \end{pmatrix}. \]
Тогда
\[ X= \begin{pmatrix} 1&-1&3\\ 4&3&2\\ 1&-2&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac16&\frac13&\frac16\\ -\frac13&\frac13&-\frac13\\ -\frac12&0&\frac12 \end{pmatrix}. \]
После умножения:
\[ \boxed{ X= \begin{pmatrix} -1&0&2\\ -\frac43&\frac73&\frac23\\ -\frac53&-\frac13&\frac{10}3 \end{pmatrix} }. \]
Проверка:
\[ XC= \begin{pmatrix} 1&-1&3\\ 4&3&2\\ 1&-2&5 \end{pmatrix}. \]
д)
\[ \begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix} X \begin{pmatrix}-3&2\\5&-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&4\\3&-1\end{pmatrix}. \]
Используем формулу \(X=A^{-1}CB^{-1}\).
\[ \begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}, \]
\[ \begin{pmatrix}-3&2\\5&-3\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}3&2\\5&3\end{pmatrix}. \]
Следовательно,
\[ X= \begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2&4\\3&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&2\\5&3\end{pmatrix}. \]
Сначала:
\[ \begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2&4\\3&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7&9\\12&-14\end{pmatrix}. \]
Тогда
\[ X= \begin{pmatrix}-7&9\\12&-14\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&2\\5&3\end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix}24&13\\-34&-18\end{pmatrix}}. \]
е)
\[ \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} X \begin{pmatrix}5&2\\0&6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}. \]
Пусть
\[ P=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, \qquad Q=\begin{pmatrix}5&2\\0&6\end{pmatrix}. \]
Так как \(P^{-1}=P\), а
\[ Q^{-1}= \begin{pmatrix} \frac15&-\frac1{15}\\ 0&\frac16 \end{pmatrix}, \]
то
\[ X=P^{-1} \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} Q^{-1}. \]
Получаем
\[ X= \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac15&-\frac1{15}\\ 0&\frac16 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix}0&\frac16\\0&0\end{pmatrix}}. \]
Проверка:
\[ \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&\frac16\\0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5&2\\0&6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}. \]
Обсуждение
3 сообщенияРеши задание 5
Задание 5
Для матрицы второго порядка используем формулу:
\[ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} = \frac1{ad-bc} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}, \qquad ad-bc\ne0. \]
а)
\[ A=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix},\qquad \det A=1\cdot5-2\cdot2=1. \]
\[ \boxed{ A^{-1}= \begin{pmatrix}5&-2\\-2&1\end{pmatrix} } \]
б)
\[ A=\begin{pmatrix}-1&4\\8&0\end{pmatrix}, \qquad \det A=(-1)\cdot0-4\cdot8=-32. \]
\[ A^{-1} = -\frac1{32} \begin{pmatrix}0&-4\\-8&-1\end{pmatrix}. \]
Следовательно,
\[ \boxed{ A^{-1}= \begin{pmatrix} 0&\frac18\\[2pt] \frac14&\frac1{32} \end{pmatrix} } \]
в)
\[ A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, \qquad ad-bc\ne0. \]
По формуле:
\[ \boxed{ A^{-1}= \frac1{ad-bc} \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix} } \]
г)
\[ A= \begin{pmatrix} 1&3&-5\\ 0&1&2\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \]
Ищем верхнетреугольную обратную матрицу:
\[ A^{-1}= \begin{pmatrix} 1&x&y\\ 0&1&z\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \]
Из условия \(AA^{-1}=E\):
\[ x+3=0\Rightarrow x=-3, \]
\[ z+2=0\Rightarrow z=-2, \]
\[ y+3z-5=0\Rightarrow y-6-5=0\Rightarrow y=11. \]
Поэтому
\[ \boxed{ A^{-1}= \begin{pmatrix} 1&-3&11\\ 0&1&-2\\ 0&0&1 \end{pmatrix} } \]
д)
\[ A= \begin{pmatrix} 2&2&3\\ 1&-1&0\\ -1&2&1 \end{pmatrix}. \]
Определитель:
\[ \det A=-1\ne0. \]
Вычисляя алгебраические дополнения, получаем:
\[ \boxed{ A^{-1}= \begin{pmatrix} 1&-4&-3\\ 1&-5&-3\\ -1&6&4 \end{pmatrix} } \]
Проверка:
\[ \begin{pmatrix} 2&2&3\\ 1&-1&0\\ -1&2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-4&-3\\ 1&-5&-3\\ -1&6&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \]
е)
Матрица
\[ A=(a_{ij}\delta_{ij})_{n\times n} \]
является диагональной:
\[ A= \begin{pmatrix} a_{11}&0&\cdots&0\\ 0&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}. \]
Так как \(a_{ii}\ne0\), обратная матрица существует и имеет вид:
\[ \boxed{ A^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac1{a_{11}}&0&\cdots&0\\ 0&\dfrac1{a_{22}}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\dfrac1{a_{nn}} \end{pmatrix} } \]
или в индексной форме:
\[ \boxed{ A^{-1}= \left(\frac{\delta_{ij}}{a_{ii}}\right)_{n\times n} }. \]
Реши 7 задание
