Упражнения 57

Краткий ответ: все функции в упражнении 57 являются чётными.

Функция чётная, если её область определения симметрична относительно нуля и выполняется условие
\[ f(-x)=f(x). \]

Область определения всех данных функций: \(\mathbb R\).

а) \(\boldsymbol{f(x)=3x^2+x^4}\)

\[ f(-x)=3(-x)^2+(-x)^4=3x^2+x^4=f(x). \]

Следовательно, функция чётная.

б) \(\boldsymbol{f(x)=x^5\sin\frac{x}{2}}\)

Используем свойства: \[ (-x)^5=-x^5,\qquad \sin\left(-\frac{x}{2}\right)=-\sin\frac{x}{2}. \]

Тогда \[ f(-x)=(-x)^5\sin\left(-\frac{x}{2}\right) =(-x^5)\left(-\sin\frac{x}{2}\right) =x^5\sin\frac{x}{2}=f(x). \]

Следовательно, функция чётная.

в) \(\boldsymbol{f(x)=x^2\cos x}\)

Так как \[ (-x)^2=x^2,\qquad \cos(-x)=\cos x, \] то \[ f(-x)=(-x)^2\cos(-x)=x^2\cos x=f(x). \]

Следовательно, функция чётная.

г) \(\boldsymbol{f(x)=4x^6-x^2}\)

\[ f(-x)=4(-x)^6-(-x)^2=4x^6-x^2=f(x). \]

Следовательно, функция чётная.

Ответ:
\[ \boxed{\text{а), б), в), г) — чётные функции.}} \]