Реши задание на изображении
Краткий ответ:
- \(AB=CD=24\) см, \(AD=BC=18\) см.
- Углы ромба: \(68^\circ\) и \(112^\circ\).
1. Параллелограмм
Пусть биссектриса угла \(A\) пересекает \(CD\) в точке \(E\).
Так как \(AB\parallel CD\), а \(AE\) — биссектриса угла \(A\), то
\[ \angle DAE=\angle AED. \]
Следовательно, треугольник \(AED\) равнобедренный:
\[ AD=DE. \]
По условию:
\[ CE:ED=1:3. \]
Пусть \(CE=x\), тогда \(ED=3x\). Поэтому
\[ CD=CE+ED=4x. \]
В параллелограмме противоположные стороны равны:
\[ AB=CD=4x,\qquad AD=BC=3x. \]
Периметр:
\[ 2(AB+AD)=84, \]
\[ 2(4x+3x)=84, \]
\[ 14x=84,\qquad x=6. \]
Значит,
\[ AB=CD=4\cdot6=24\text{ см}, \]
\[ AD=BC=3\cdot6=18\text{ см}. \]
Проверка:
\[ 2(24+18)=84\text{ см}. \]
2. Ромб
Обозначим тупой угол ромба через \(\alpha\).
Диагональ ромба делит угол пополам, поэтому угол между диагональю и стороной равен
\[ \frac{\alpha}{2}. \]
Высота перпендикулярна стороне, значит угол между высотой и диагональю равен
\[ 90^\circ-\frac{\alpha}{2}. \]
По условию этот угол равен \(34^\circ\):
\[ 90^\circ-\frac{\alpha}{2}=34^\circ, \]
\[ \frac{\alpha}{2}=56^\circ, \]
\[ \alpha=112^\circ. \]
Второй угол ромба смежный с ним:
\[ 180^\circ-112^\circ=68^\circ. \]
Проверка:
\[ 112^\circ+68^\circ=180^\circ. \]
