Номер 490,492,493

Уже, вот решения № 490, 492 и 493.

№ 490

Так как \(AD \parallel BC\), односторонние углы при боковых сторонах в сумме дают \(180^\circ\):

\[ \angle A+\angle B=180^\circ, \qquad \angle C+\angle D=180^\circ. \]

Тогда

\[ \angle B=180^\circ-36^\circ=144^\circ, \]

\[ \angle D=180^\circ-117^\circ=63^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{\angle B=144^\circ,\ \angle D=63^\circ}\).

№ 492

Пусть основания трапеции \(ABCD\) параллельны:

\[ AB\parallel CD. \]

а) Если углы при одном основании равны

Пусть

\[ \angle A=\angle B. \]

Опустим из вершин \(C\) и \(D\) перпендикуляры на \(AB\). Получатся два прямоугольных треугольника.

Расстояния между параллельными прямыми равны, поэтому соответствующие высоты равны. Углы этих прямоугольных треугольников также равны, значит, треугольники равны.

Следовательно, их гипотенузы равны:

\[ AD=BC. \]

Значит, трапеция равнобедренная.

б) Если диагонали равны

Пусть

\[ AC=BD. \]

Через точку \(B\) проведём прямую \(BE\parallel AC\), пересекающую прямую \(CD\) в точке \(E\).

Четырёхугольник \(ABEC\) — параллелограмм, поэтому

\[ BE=AC. \]

Так как \(AC=BD\), то

\[ BE=BD. \]

Следовательно, треугольник \(BDE\) равнобедренный, поэтому

\[ \angle BDE=\angle BED. \]

Из параллельности \(DE\parallel AB\) и \(BE\parallel AC\) получаем:

\[ \angle ABD=\angle BAC. \]

Треугольники \(ABD\) и \(BAC\) равны по двум сторонам и углу между ними:

\[ AB \text{ — общая сторона},\quad BD=AC,\quad \angle ABD=\angle BAC. \]

Значит,

\[ AD=BC. \]

Следовательно, трапеция равнобедренная.

№ 493

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы в сумме дают \(180^\circ\).

Если один угол равен \(68^\circ\), то второй угол при том же основании тоже равен \(68^\circ\):

\[ 180^\circ-68^\circ=112^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{68^\circ,\ 68^\circ,\ 112^\circ,\ 112^\circ}\).