Номер 492

Краткий ответ: пусть \(ABCD\) — трапеция с основаниями \(AD\parallel BC\). В обоих случаях докажем, что \(AB=CD\), то есть трапеция равнобедренная.

а) Если углы при одном основании равны

Пусть \(\angle A=\angle D\). Опустим из \(B\) и \(C\) перпендикуляры \(BH\) и \(CK\) на прямую \(AD\).

Так как \(AD\parallel BC\), расстояния от точек \(B\) и \(C\) до прямой \(AD\) равны:

\[ BH=CK. \]

Прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(DCK\) имеют равные катеты \(BH=CK\) и равные острые углы, так как \(\angle A=\angle D\) (если углы тупые, равны их дополнительные углы). Поэтому эти треугольники равны по катету и острому углу.

Следовательно, их гипотенузы равны:

\[ AB=CD. \]

Значит, трапеция равнобедренная.

Если равны углы при другом основании, то \(\angle B=\angle C\). Поскольку

\[ \angle A+\angle B=180^\circ,\qquad \angle C+\angle D=180^\circ, \]

получаем \(\angle A=\angle D\), и доказательство такое же.

б) Если диагонали трапеции равны

Пусть

\[ AC=BD. \]

Через точку \(D\) проведём прямую \(DE\parallel AC\), пересекающую прямую \(BC\) в точке \(E\).

Так как \(AD\parallel BC\), то \(AD\parallel EC\). Поэтому четырёхугольник \(ADEC\) — параллелограмм, и

\[ DE=AC. \]

По условию \(AC=BD\), значит,

\[ DE=BD. \]

Следовательно, треугольник \(BDE\) равнобедренный, поэтому

\[ \angle DBE=\angle BED. \]

Из параллельности прямых:

\[ \angle DBE=\angle ADB,\qquad \angle BED=\angle DAC. \]

Значит,

\[ \angle ADB=\angle DAC. \]

Теперь рассмотрим треугольники \(ADB\) и \(DAC\):

\[ AD=AD,\qquad BD=AC,\qquad \angle ADB=\angle DAC. \]

Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие стороны равны:

\[ AB=CD. \]

Следовательно, трапеция равнобедренная.

Проверка: получено \(AB=CD\), а это и есть определение равнобедренной трапеции.