Номер 492

Краткий ответ: в обоих случаях нужно доказать равенство боковых сторон: \[ AB=CD. \] Пусть \(ABCD\) — трапеция, \(AD\parallel BC\), а \(AB\) и \(CD\) — боковые стороны.

а) Углы при основании равны

Пусть \[ \angle A=\angle D. \]

Опустим из \(B\) и \(C\) перпендикуляры \(BE\) и \(CF\) на прямую \(AD\).

Так как \(AD\parallel BC\), то \(BE\) и \(CF\) — расстояния между одними и теми же параллельными прямыми, поэтому \[ BE=CF. \]

Прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(DCF\) имеют:

• равные катеты \(BE=CF\);
• равные углы при основании, так как \(\angle A=\angle D\).

Следовательно, треугольники равны, поэтому их гипотенузы равны: \[ AB=CD. \]

Значит, трапеция равнобедренная.

б) Диагонали трапеции равны

Пусть \[ AC=BD. \]

Вновь опустим \(BE\perp AD\) и \(CF\perp AD\). Четырёхугольник \(BCEF\) — прямоугольник, поэтому \[ BE=CF. \]

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ACF\) и \(BDE\). В них:

• гипотенузы равны: \[ AC=BD; \]
• катеты равны: \[ CF=BE. \]

Значит, треугольники равны по гипотенузе и катету, откуда \[ AF=DE. \]

Так как \(EF\) — общий отрезок между проекциями концов основания, получаем \[ AE=DF. \]

Теперь в прямоугольных треугольниках \(ABE\) и \(DCF\): \[ BE=CF,\qquad AE=DF. \] Следовательно, \[ AB=CD. \]

Таким образом, и в первом, и во втором случае трапеция является равнобедренной. Проверка выполнена: получено равенство её боковых сторон.