Реши задание на изображении

Краткий ответ

а) \(y=-\dfrac14x^2+x-1\)

\[ y=-\frac14(x-2)^2 \]

• Вершина: \((2;0)\)
• Ось симметрии: \(x=2\)
• Ветви направлены вниз
• Область определения: \(\mathbb R\)
• Область значений: \((-\infty;0]\)
• Возрастает на \((-\infty;2)\)
• Убывает на \((2;+\infty)\)
• Наибольшее значение: \(0\)
• Нуль функции: \(x=2\)
• \(y<0\) при \(x\ne2\)

в) \(y=x^2+3x\)

\[ y=\left(x+\frac32\right)^2-\frac94 \]

• Вершина: \(\left(-\dfrac32;-\dfrac94\right)\)
• Ось симметрии: \(x=-\dfrac32\)
• Ветви направлены вверх
• Область определения: \(\mathbb R\)
• Область значений: \(\left[-\dfrac94;+\infty\right)\)
• Убывает на \(\left(-\infty;-\dfrac32\right)\)
• Возрастает на \(\left(-\dfrac32;+\infty\right)\)
• Наименьшее значение: \(-\dfrac94\)
• Нули функции: \(x=-3\) и \(x=0\)
• \(y>0\) при \(x<-3\) или \(x>0\)
• \(y<0\) при \(-3<x<0\)

Как получили

Для квадратичной функции удобно выделить полный квадрат.

а):

\[ -\frac14x^2+x-1 =-\frac14(x^2-4x+4) =-\frac14(x-2)^2. \]

Отсюда сразу видны вершина и направление ветвей.

в):

\[ x^2+3x =x^2+3x+\frac94-\frac94 =\left(x+\frac32\right)^2-\frac94. \]

Нули найдём разложением на множители:

\[ x^2+3x=x(x+3)=0, \]

поэтому \(x=0\) или \(x=-3\).

Для построения графиков можно взять точки:

• для а): \((0;-1)\), \((1;-\frac14)\), \((2;0)\), \((3;-\frac14)\);
• для в): \((-3;0)\), \((-2;-2)\), \(\left(-\frac32;-\frac94\right)\), \((-1;-2)\), \((0;0)\).

Проверка: \(f(2)=0\) для пункта а), а для пункта в) \(f(-3)=f(0)=0\).