2³ˣ⁺² - 3³ˣ⁻² = 30;

Краткий ответ (понимая запись как \(2^{3x+2}-3^{3x-2}=30\)):

\[ \boxed{x_1\approx1{,}017366,\qquad x_2\approx2{,}932026} \]

Решение

Перенесём всё в левую часть:

\[ F(x)=2^{3x+2}-3^{3x-2}-30. \]

Основания степеней разные, поэтому обычной заменой к квадратному уравнению это выражение не сводится. Решения ищем численно.

Проверим значения:

\[ F(1)=2^5-3^1-30=-1, \]

\[ F(2)=2^8-3^4-30=145, \]

\[ F(3)=2^{11}-3^7-30=-169. \]

Значит, один корень находится между \(1\) и \(2\), а второй — между \(2\) и \(3\).

Уточнением границ получаем:

\[ F(1{,}0173)<0,\qquad F(1{,}0174)>0, \]

откуда

\[ x_1\approx1{,}017366. \]

А также:

\[ F(2{,}9320)>0,\qquad F(2{,}9321)<0, \]

откуда

\[ x_2\approx2{,}932026. \]

Почему других корней нет?

\[ F'(x)=3\ln2\cdot2^{3x+2}-3\ln3\cdot3^{3x-2}. \]

Отношение степеней

\[ \frac{2^{3x+2}}{3^{3x-2}} =36\left(\frac{8}{27}\right)^x \]

убывает при увеличении \(x\). Поэтому функция \(F(x)\) сначала возрастает, затем убывает и имеет только один максимум. Так как она пересекает ось \(x\) два раза, найденные решения являются единственными.

Проверка:

\[ 2^{3\cdot1{,}017366+2}-3^{3\cdot1{,}017366-2}\approx30, \]

\[ 2^{3\cdot2{,}932026+2}-3^{3\cdot2{,}932026-2}\approx30. \]