Реши задание на изображении

Краткий ответ

№ 1

а) \(\displaystyle y'=-7x^8-2x^4-6x^2\);

б) \(\displaystyle y'=\frac{3}{\cos^2 x}\);

в) \(\displaystyle y'=e^x-4\cos x\).

№ 2

А) \(\boxed{x=1,\;x=4}\);

Б) \(\boxed{x=3\pi+6\pi k,\ k\in\mathbb Z}\).

---

№ 1. Находим производные

Используем правила:

\[ (x^n)'=nx^{n-1},\qquad (\tg x)'=\frac1{\cos^2x}, \] \[ (e^x)'=e^x,\qquad (\sin x)'=\cos x. \]

а)

\[ y=-\frac79x^9-\frac25x^5-2x^3-\frac35. \]

Производная постоянного числа равна нулю:

\[ y'=-\frac79\cdot 9x^8-\frac25\cdot 5x^4-2\cdot3x^2. \]

\[ \boxed{y'=-7x^8-2x^4-6x^2}. \]

б)

\[ y=3\tg x-\frac13. \]

\[ y'=3\cdot\frac1{\cos^2x}=\boxed{\frac3{\cos^2x}}. \]

в)

\[ y=e^x-4\sin x. \]

\[ y'=e^x-4\cos x. \]

\[ \boxed{y'=e^x-4\cos x}. \]

---

№ 2. Когда производная равна нулю

А)

\[ f(x)=2\sqrt{x}-3\ln(x+2). \]

Производная существует при \(x>0\):

\[ f'(x)=\frac1{\sqrt{x}}-\frac3{x+2}. \]

Приравняем её к нулю:

\[ \frac1{\sqrt{x}}-\frac3{x+2}=0, \]

\[ \frac1{\sqrt{x}}=\frac3{x+2}. \]

Положим \(t=\sqrt{x}\), тогда \(x=t^2\), \(t>0\):

\[ \frac1t=\frac3{t^2+2}. \]

\[ t^2+2=3t, \]

\[ t^2-3t+2=0, \]

\[ (t-1)(t-2)=0. \]

Отсюда \(t=1\) или \(t=2\). Возвращаемся к \(x\):

\[ x=1^2=1,\qquad x=2^2=4. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=1,\;4}. \]

Проверка:

\[ f'(1)=1-\frac33=0,\qquad f'(4)=\frac12-\frac36=0. \]

Б)

\[ f(x)=\frac{x}{3}+\sin\frac{x}{3}. \]

По правилу сложной функции:

\[ f'(x)=\frac13+\frac13\cos\frac{x}{3} =\frac{1+\cos\frac{x}{3}}3. \]

Приравниваем к нулю:

\[ \frac{1+\cos\frac{x}{3}}3=0, \]

\[ \cos\frac{x}{3}=-1. \]

Известно, что

\[ \cos\alpha=-1 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \]

Значит,

\[ \frac{x}{3}=\pi+2\pi k, \]

\[ \boxed{x=3\pi+6\pi k,\quad k\in\mathbb Z}. \]