2³ˣ⁺² - 3³ˣ⁻² = 30

Краткий ответ: при стандартном чтении
\[ 2^{3x+2}-3^{3x-2}=30 \] действительные корни: \[ \boxed{x\approx1{,}01737\quad\text{или}\quad x\approx2{,}93203}. \]

Решение

Обозначим \[ F(x)=2^{3x+2}-3^{3x-2}-30. \]

Проверим значения:

\[ F(1)=2^5-3^1-30=32-3-30=-1, \] \[ F(2)=2^8-3^4-30=256-81-30=145, \] \[ F(3)=2^{11}-3^7-30=2048-2187-30=-169. \]

Значит, один корень находится между \(1\) и \(2\), а второй — между \(2\) и \(3\).

Так как основания степеней разные (\(2\) и \(3\)), обычной заменой переменной это уравнение не сводится к квадратному или другому алгебраическому уравнению. Корни находят численно, например методом Ньютона:

\[ x_{n+1}=x_n- \frac{2^{3x_n+2}-3^{3x_n-2}-30} {3\ln2\cdot2^{3x_n+2}-3\ln3\cdot3^{3x_n-2}}. \]

Получаем: \[ x_1\approx1{,}01737,\qquad x_2\approx2{,}93203. \]

Проверка: \[ 2^{3\cdot1{,}01737+2}-3^{3\cdot1{,}01737-2}\approx30, \] \[ 2^{3\cdot2{,}93203+2}-3^{3\cdot2{,}93203-2}\approx30. \]

Если в ответах ожидается целое \(x\), проверь условие: при \(x=1\) левая часть равна \(29\), а не \(30\).