Как пишется правильно экзаменом по Беларуси

Скорее всего, правильно: «экзамен по Беларуси».

• экзамен — если речь о самом испытании: завтра будет экзамен по Беларуси;
• экзаменом — творительный падеж, нужен только в особом контексте: это стало для него настоящим экзаменом.

Если ты имеешь в виду экзамен по истории, точнее: «экзамен по истории Беларуси».
Пришли всё предложение целиком, чтобы выбрать форму точно.