Номер 101
Краткий ответ:
- а) \(x=-\dfrac17,\; x=1\);
- б) \(x=\dfrac12\);
- в) нулей нет;
- г) \(x=\dfrac15\).
Решение
Нуль функции — это такое значение \(x\), при котором \(f(x)=0\), причём функция должна быть определена.
а)
\[
7x^2-6x-1=0.
\]
Разложим на множители:
\[
7x^2-6x-1=(7x+1)(x-1).
\]
Тогда
\[
7x+1=0 \quad \text{или} \quad x-1=0,
\]
\[
x=-\frac17,\qquad x=1.
\]
б)
\[
\sqrt{7-14x}=0.
\]
Квадратный корень равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю:
\[
7-14x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac12.
\]
Проверка области определения:
\[
7-14\cdot\frac12=0,
\]
значение допустимо.
в)
\[
\frac{2x+3}{9-4x^2}=0.
\]
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\[
2x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac32.
\]
Но
\[
9-4\left(-\frac32\right)^2=9-9=0.
\]
При этом \(x\) не входит в область определения функции. Поэтому нулей нет.
г)
\[
\frac{5x-1}{x^2+16}=0.
\]
Числитель равен нулю:
\[
5x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac15.
\]
Знаменатель всегда положителен:
\[
x^2+16>0,
\]
поэтому это значение подходит.
