Реши задание на изображении

Қысқаша жауап — 149-есеп

\[ \boxed{\text{а) }\ -\sqrt{\frac52}<x<\sqrt{\frac52},\qquad x^2\le y<5-x^2} \]

\[ \boxed{\text{ә) }\ -1<x<4,\qquad x^2-2x-3\le y<x+1} \]

\[ \boxed{\text{б) }\ 1\le x\le\frac{7+\sqrt{13}}2,\qquad (x-3)^2-3\le y\le\sqrt{x}} \]

\[ \boxed{\text{в) }\ -\sqrt2<x<0,\qquad x<y<\frac12x^3} \]

Графикте \(<,>\) белгісі бар шекаралар штрих сызықпен, ал \(\le,\ge\) бар шекаралар тұтас сызықпен салынады.

Шешуі

а)
\[ y\ge x^2,\qquad y<5-x^2. \]

Шешім болуы үшін төменгі график жоғарғы графиктен төмен орналасуы керек:

\[ x^2<5-x^2 \]

\[ 2x^2<5\quad\Rightarrow\quad -\sqrt{\frac52}<x<\sqrt{\frac52}. \]

Сондықтан шешім — \(y=x^2\) параболасынан жоғары және \(y=5-x^2\) параболасынан төмен жатқан аймақ.

---

ә)
\[ y\ge x^2-2x-3,\qquad y<x+1. \]

\[ x^2-2x-3<x+1 \]

\[ x^2-3x-4<0 \]

\[ (x-4)(x+1)<0. \]

Осыдан:

\[ -1<x<4. \]

Демек, шешім парабола мен түзудің арасындағы аймақ:

\[ x^2-2x-3\le y<x+1. \]

---

б)
\[ y\le\sqrt{x},\qquad y\ge (x-3)^2-3. \]

Алдымен \(x\ge0\). Қиылысу нүктелерін табамыз:

\[ (x-3)^2-3=\sqrt{x}. \]

\(t=\sqrt{x}\) деп белгілесек, \(x=t^2\):

\[ (t^2-3)^2-3=t, \]

\[ t^4-6t^2-t+6=0, \]

\[ (t-1)(t+2)(t^2-t-3)=0. \]

\(t\ge0\) болғандықтан:

\[ t=1,\qquad t=\frac{1+\sqrt{13}}2. \]

Сонда:

\[ x=1,\qquad x=\left(\frac{1+\sqrt{13}}2\right)^2 =\frac{7+\sqrt{13}}2. \]

Шешім осы екі мәннің арасындағы аймақ болады, әрі екі шекара да қосылады.

---

в)
\[ x<y<0,\qquad y<\frac12x^3. \]

\(x<y<0\) болғандықтан, \(x<0\). Бұл жағдайда \(\frac12x^3<0\), сондықтан негізгі шарт:

\[ x<y<\frac12x^3. \]

Мұндай \(y\) болуы үшін:

\[ x<\frac12x^3. \]

\[ \frac{x(x^2-2)}2>0. \]

\(x<0\) екенін ескерсек:

\[ -\sqrt2<x<0. \]

Сондықтан:

\[ -\sqrt2<x<0,\qquad x<y<\frac12x^3. \]

Тексеру үшін, мысалы, в) тармағында \(x=-1,\ y=-\frac34\) алсақ:

\[ -1<-\frac34<0,\qquad -\frac34<-\frac12. \]

Демек, нүкте шешімдер аймағына жатады.