Реши задание на изображении

Решение

а)
Используем формулу двойного угла: \[ \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha. \] Тогда \[ \sin15^\circ\cos15^\circ =\frac12\sin30^\circ =\frac12\cdot\frac12 =\boxed{\frac14}. \]

б)
По формуле разности синусов: \[ \sin\alpha-\sin\beta =2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}. \] Получаем: \[ \frac{\sin70^\circ-\sin10^\circ}{\cos40^\circ} = \frac{2\cos40^\circ\sin30^\circ}{\cos40^\circ} \] \[ =\frac{2\cos40^\circ\cdot\frac12}{\cos40^\circ} =\boxed{1}. \]

в)
Так как \[ \sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos2\alpha, \] то \[ \left(\sin^2 22{,}5^\circ-\cos^2 22{,}5^\circ\right)^2 = \left(-\cos45^\circ\right)^2 \] \[ =\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 =\boxed{\frac12}. \]

г)
По формуле разности косинусов: \[ \cos\alpha-\cos\beta =-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}. \] Тогда \[ \frac{\cos165^\circ-\cos15^\circ}{-\cos75^\circ} = \frac{-2\sin90^\circ\sin75^\circ}{-\cos75^\circ} \] \[ =2\frac{\sin75^\circ}{\cos75^\circ} =2\tan75^\circ. \]

Вычислим: \[ \tan75^\circ=\tan(45^\circ+30^\circ) =\frac{1+\frac1{\sqrt3}}{1-\frac1{\sqrt3}} =2+\sqrt3. \] Следовательно, \[ 2\tan75^\circ=2(2+\sqrt3) =\boxed{4+2\sqrt3}. \]

Ответ:
\[ \boxed{\text{а) }\frac14;\quad \text{б) }1;\quad \text{в) }\frac12;\quad \text{г) }4+2\sqrt3.} \]

Конечно. Покажем решение по формулам.

а) \(\sin15^\circ\cos15^\circ\)

Используем формулу: \[ \sin\alpha\cos\beta= \frac12\left(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right). \]

Подставим: \[ \sin15^\circ\cos15^\circ= \frac12\left(\sin30^\circ+\sin0^\circ\right). \]

Так как \(\sin30^\circ=\frac12\), а \(\sin0^\circ=0\), получаем: \[ \frac12\left(\frac12+0\right)=\boxed{\frac14}. \]

б) \(\dfrac{\sin70^\circ-\sin10^\circ}{\cos40^\circ}\)

Используем формулу разности синусов: \[ \sin\alpha-\sin\beta= 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}. \]

Тогда: \[ \sin70^\circ-\sin10^\circ = 2\cos\frac{70^\circ+10^\circ}{2} \sin\frac{70^\circ-10^\circ}{2}. \]

\[ =2\cos40^\circ\sin30^\circ. \]

Подставим в выражение: \[ \frac{2\cos40^\circ\sin30^\circ}{\cos40^\circ}. \]

Сокращаем \(\cos40^\circ\): \[ 2\sin30^\circ=2\cdot\frac12=\boxed{1}. \]

в) \(\left(\sin^2 22{,}5^\circ-\cos^2 22{,}5^\circ\right)^2\)

Используем формулу: \[ \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha. \]

Следовательно, \[ \sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos2\alpha. \]

При \(\alpha=22{,}5^\circ\): \[ \sin^2 22{,}5^\circ-\cos^2 22{,}5^\circ =-\cos45^\circ. \]

Возводим в квадрат: \[ (-\cos45^\circ)^2 = \left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 =\boxed{\frac12}. \]

г) \(\dfrac{\cos165^\circ-\cos15^\circ}{-\cos75^\circ}\)

Используем формулу разности косинусов: \[ \cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}. \]

Тогда: \[ \cos165^\circ-\cos15^\circ = -2\sin90^\circ\sin75^\circ. \]

Подставим: \[ \frac{-2\sin90^\circ\sin75^\circ}{-\cos75^\circ}. \]

Так как \(\sin90^\circ=1\), получаем: \[ 2\cdot\frac{\sin75^\circ}{\cos75^\circ} =2\tan75^\circ. \]

Теперь найдём \(\tan75^\circ\): \[ \tan75^\circ=\tan(45^\circ+30^\circ). \]

По формуле тангенса суммы: \[ \tan(\alpha+\beta)= \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}. \]

\[ \tan75^\circ= \frac{1+\frac1{\sqrt3}}{1-\frac1{\sqrt3}} = 2+\sqrt3. \]

Значит: \[ 2\tan75^\circ=2(2+\sqrt3) =\boxed{4+2\sqrt3}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\text{а) }\frac14;\quad \text{б) }1;\quad \text{в) }\frac12;\quad \text{г) }4+2\sqrt3.} \]

г) \(\displaystyle \frac{\cos165^\circ-\cos15^\circ}{-\cos75^\circ}\)

Используем формулу разности косинусов: \[ \cos\alpha-\cos\beta =-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}. \]

Подставляем \(\alpha=165^\circ\), \(\beta=15^\circ\): \[ \cos165^\circ-\cos15^\circ =-2\sin90^\circ\sin75^\circ =-2\sin75^\circ. \]

Тогда \[ \frac{\cos165^\circ-\cos15^\circ}{-\cos75^\circ} = \frac{-2\sin75^\circ}{-\cos75^\circ} =2\tan75^\circ. \]

Теперь: \[ \tan75^\circ=\tan(45^\circ+30^\circ) =\frac{\tan45^\circ+\tan30^\circ} {1-\tan45^\circ\tan30^\circ}. \]

\[ \tan75^\circ= \frac{1+\frac1{\sqrt3}}{1-\frac1{\sqrt3}} =2+\sqrt3. \]

Следовательно, \[ 2\tan75^\circ=2(2+\sqrt3) =\boxed{4+2\sqrt3}. \]

Ответ: \[ \boxed{4+2\sqrt3} \]