Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(x=24\)
- \(x=3\sqrt2\)
- \(x=-8\)
- \(x=4;\,5\)
- \(x=-3;\,4\)
- Промежуток \((-3;\,-2]\)
- \(x=1\)
- \(3x_0+1=-2\)
Решение
1.
\[
7-\sqrt{x+1}=2
\]
\[
\sqrt{x+1}=5,\qquad x+1=25
\]
\[
\boxed{x=24}
\]
Проверка: \(7-\sqrt{25}=7-5=2\).
2.
\[
\sqrt{6+x}\cdot\sqrt{6-x}=x
\]
ОДЗ: \[ -6\le x\le6,\qquad x\ge0. \]
Возведём в квадрат: \[ (6+x)(6-x)=x^2 \] \[ 36-x^2=x^2 \] \[ 2x^2=36,\qquad x^2=18 \] \[ x=\pm3\sqrt2. \]
Условию \(x\ge0\) подходит только \[ \boxed{x=3\sqrt2}. \]
3.
\[
\sqrt{x^2-56}=\sqrt{-x}
\]
После возведения в квадрат: \[ x^2-56=-x \] \[ x^2+x-56=0 \] \[ (x-7)(x+8)=0. \]
Получаем \(x=7\) или \(x=-8\). Но из \(\sqrt{-x}\) следует \(x\le0\), поэтому \[ \boxed{x=-8}. \]
4.
\[
\sqrt{2x^2-7x+21}-x=1
\]
\[
\sqrt{2x^2-7x+21}=x+1.
\]
Возведём в квадрат: \[ 2x^2-7x+21=(x+1)^2 \] \[ 2x^2-7x+21=x^2+2x+1 \] \[ x^2-9x+20=0 \] \[ (x-4)(x-5)=0. \]
\[ \boxed{x=4;\,5} \]
Оба корня подходят: при \(x=4\) получаем \(5-4=1\), при \(x=5\) — \(6-5=1\).
5.
\[
\sqrt{x+4}\cdot\sqrt{5-x}=2\sqrt2
\]
ОДЗ: \[ -4\le x\le5. \]
Возведём в квадрат: \[ (x+4)(5-x)=8 \] \[ -x^2+x+20=8 \] \[ x^2-x-12=0 \] \[ (x-4)(x+3)=0. \]
Оба корня входят в ОДЗ: \[ \boxed{x=-3;\,4}. \]
6.
\[
\sqrt{5-2x}+x=1
\]
\[
\sqrt{5-2x}=1-x.
\]
Правая часть должна быть неотрицательной: \(x\le1\). Возведём в квадрат: \[ 5-2x=(1-x)^2 \] \[ 5-2x=1-2x+x^2 \] \[ x^2=4,\qquad x=\pm2. \]
Проверяем:
- \(x=-2\): \(\sqrt9-2=1\) — подходит;
- \(x=2\): \(\sqrt1+2=3\ne1\) — не подходит.
Единственный корень \(x=-2\), он принадлежит промежутку \[ \boxed{(-3;\,-2]}. \]
7.
В точке пересечения графиков значения \(y\) равны:
\[
x=\sqrt{7-6x}.
\]
Так как корень неотрицателен, \(x\ge0\). Возводим в квадрат: \[ x^2=7-6x \] \[ x^2+6x-7=0 \] \[ (x-1)(x+7)=0. \]
Корни: \(x=1\) и \(x=-7\). Условию \(x\ge0\) соответствует только \[ \boxed{x=1}. \]
8.
\[
\sqrt{6-4x-x^2}-4=x
\]
\[
\sqrt{6-4x-x^2}=x+4.
\]
Возводим в квадрат: \[ 6-4x-x^2=(x+4)^2 \] \[ 6-4x-x^2=x^2+8x+16 \] \[ x^2+6x+5=0 \] \[ (x+1)(x+5)=0. \]
Получаем \(x=-1\) и \(x=-5\). Но \(x+4\ge0\), поэтому \(x=-5\) не подходит. Значит, \[ x_0=-1. \]
Тогда \[ 3x_0+1=3\cdot(-1)+1=\boxed{-2}. \]
