Номера 46.25 и 46.27

Краткий ответ

46.25:

• а) наибольшее значение: \(\boxed{2}\) при \(x=-1\); наименьшего значения нет;
• б) наименьшее значение: \(\boxed{0}\) при \(x=0\), наибольшее: \(\boxed{\frac14}\) при \(x=1\).

46.27:

• а) наибольшее значение достигается при \(\boxed{x=\frac{11}{2}}\);
• б) наибольшее значение достигается при \(\boxed{x=1}\).

---

46.25

а) \(y=x^3-3x,\quad x\in(-\infty;0]\)

Находим производную:

\[ y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1). \]

Критические точки:

\[ x=-1,\qquad x=1. \]

Из них промежутку \((-\infty;0]\) принадлежит только \(x=-1\).

Знаки производной:

• при \(x<-1\): \(y'>0\), функция возрастает;
• при \(-1<x\leqslant0\): \(y'<0\), функция убывает.

Значит, в точке \(x=-1\) функция достигает максимума:

\[ y(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2. \]

Проверка:

\[ y(0)=0,\qquad \lim_{x\to-\infty}(x^3-3x)=-\infty. \]

Следовательно, функция не ограничена снизу, поэтому наименьшего значения нет.

\[ \boxed{y_{\max}=2\text{ при }x=-1} \]

---

б) \(\displaystyle y=\frac{x}{x^4+3},\quad x\in[0;+\infty)\)

Производная:

\[ y'=\frac{(x^4+3)-4x^4}{(x^4+3)^2} =\frac{3(1-x^4)}{(x^4+3)^2}. \]

Знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется выражением \(1-x^4\):

• на \([0;1)\): \(y'>0\), функция возрастает;
• на \((1;+\infty)\): \(y'<0\), функция убывает.

Значит, максимум достигается при \(x=1\):

\[ y(1)=\frac{1}{1+3}=\frac14. \]

Минимум:

\[ y(0)=0, \]

а при \(x\geqslant0\) функция неотрицательна. Поэтому

\[ \boxed{y_{\min}=0\text{ при }x=0},\qquad \boxed{y_{\max}=\frac14\text{ при }x=1}. \]

---

46.27

Корень — возрастающая функция, поэтому достаточно найти максимум выражения под корнем.

а) \(\displaystyle y=\sqrt{(x-1)(10-x)}\)

Область определения:

\[ (x-1)(10-x)\geqslant0 \quad\Longrightarrow\quad x\in[1;10]. \]

Преобразуем подкоренное выражение:

\[ (x-1)(10-x) =-x^2+11x-10 =\frac{81}{4}-\left(x-\frac{11}{2}\right)^2. \]

Максимум достигается, когда квадрат равен нулю:

\[ x-\frac{11}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{x=\frac{11}{2}}. \]

При этом

\[ y_{\max}=\sqrt{\frac{81}{4}}=\frac92. \]

---

б) \(\displaystyle y=\sqrt{(x+2)(4-x)}\)

Область определения:

\[ (x+2)(4-x)\geqslant0 \quad\Longrightarrow\quad x\in[-2;4]. \]

Преобразуем:

\[ (x+2)(4-x) =-x^2+2x+8 =9-(x-1)^2. \]

Максимум достигается при

\[ x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{x=1}. \]

При этом

\[ y_{\max}=\sqrt9=3. \]