Реши номер 2.86
Ответ:
а) \(\text{НОД}(975,750)=75\);
б) \(\text{НОД}(572,440)=44\);
в) \(\text{НОД}(80,140,56)=4\);
г) \(\text{НОД}(170,306,255)=17\).
Решение
Используем алгоритм Евклида: заменяем большее число остатком от деления на меньшее.
а)
\[
975=750+225,
\]
\[
750=225\cdot3+75,
\]
\[
225=75\cdot3.
\]
Последний ненулевой остаток — \(75\), значит НОД равен \(75\).
б)
\[
572=440+132,
\]
\[
440=132\cdot3+44,
\]
\[
132=44\cdot3.
\]
\[
\text{НОД}=44.
\]
в)
Сначала найдём НОД первых двух чисел:
\[
140=80+60,\qquad 80=60+20,\qquad 60=20\cdot3.
\]
Значит, \(\text{НОД}(80,140)=20\).
Теперь: \[ 56=20\cdot2+16,\qquad 20=16+4,\qquad 16=4\cdot4. \] \[ \text{НОД}(80,140,56)=4. \]
г)
\[
306=170+136,
\]
\[
170=136+34,
\]
\[
136=34\cdot4.
\]
Значит, \(\text{НОД}(170,306)=34\).
Далее: \[ 255=34\cdot7+17,\qquad 34=17\cdot2. \] \[ \text{НОД}(170,306,255)=17. \]
Проверка:
\[
975:75=13,\quad750:75=10;
\]
\[
572:44=13,\quad440:44=10;
\]
\[
80:4=20,\quad140:4=35,\quad56:4=14;
\]
\[
170:17=10,\quad306:17=18,\quad255:17=15.
\]
Все числа делятся на найденные НОД без остатка.
