реши

Дано

\[ v_0=9{,}8\ \text{м/с} \]

\[ g=9{,}8\ \text{м/с}^2 \]

\[ v=0 \]

Найти:

\[ t-? \qquad s-? \]

СИ

Все величины даны в единицах СИ.

Решение

В верхней точке мяч остановится, поэтому его конечная скорость равна нулю:

\[ v=v_0-gt. \]

Подставим значения:

\[ 0=9{,}8-9{,}8t, \]

\[ t=\frac{9{,}8}{9{,}8}=1\ \text{с}. \]

Перемещение найдём по формуле:

\[ s=v_0t-\frac{gt^2}{2}. \]

\[ s=9{,}8\cdot1-\frac{9{,}8\cdot1^2}{2} =9{,}8-4{,}9=4{,}9\ \text{м}. \]

Ответ

\[ \boxed{t=1\ \text{с}} \]

\[ \boxed{s=4{,}9\ \text{м}} \]

Мяч поднимется на \(4{,}9\) м.

Задача 2

Дано:

\[ v_0 \text{ — начальная скорость тела} \]

\[ g \approx 9{,}8\ \text{м/с}^2 \]

Сопротивлением воздуха пренебречь.

Найти:

\[ t_{\text{полёта}} \text{ и доказать, что } t_{\text{полёта}}=2t_{\text{подъёма}}. \]

СИ

\[ v_0 \text{ измеряется в м/с}, \qquad g \text{ — в м/с}^2. \]

Решение

В верхней точке скорость тела равна нулю:

\[ v=0. \]

По формуле скорости:

\[ v=v_0-gt_{\text{подъёма}}. \]

Тогда:

\[ 0=v_0-gt_{\text{подъёма}}, \]

\[ t_{\text{подъёма}}=\frac{v_0}{g}. \]

Высота подъёма тела:

\[ h_{\max}=v_0t_{\text{подъёма}} -\frac{gt_{\text{подъёма}}^2}{2}. \]

Подставим \(t_{\text{подъёма}}=\frac{v_0}{g}\):

\[ h_{\max} =\frac{v_0^2}{2g}. \]

При падении тело начинает движение с нулевой скоростью, поэтому:

\[ h_{\max}=\frac{gt_{\text{падения}}^2}{2}. \]

Отсюда:

\[ t_{\text{падения}} =\sqrt{\frac{2h_{\max}}{g}} =\sqrt{\frac{2}{g}\cdot\frac{v_0^2}{2g}} =\frac{v_0}{g}. \]

Значит:

\[ t_{\text{падения}}=t_{\text{подъёма}}. \]

Общее время полёта:

\[ t_{\text{полёта}} =t_{\text{подъёма}}+t_{\text{падения}} =2t_{\text{подъёма}}. \]

Ответ:

\[ \boxed{t_{\text{полёта}}=2t_{\text{подъёма}}}. \]

---

Задача 3

Дано:

\[ v_0=15\ \text{м/с} \]

\[ \Delta s=0 \]

\[ g\approx9{,}8\ \text{м/с}^2 \]

Сопротивлением воздуха пренебречь.

Найти:

\[ v-? \]

СИ

Все величины даны в единицах СИ.

Решение

Используем формулу:

\[ v^2-v_0^2=2a\Delta s. \]

При возвращении в точку броска перемещение равно нулю:

\[ \Delta s=0. \]

Тогда:

\[ v^2-v_0^2=0, \]

\[ v^2=v_0^2, \]

\[ |v|=v_0. \]

При возвращении тело движется вниз, поэтому, если направление вверх считать положительным:

\[ v=-15\ \text{м/с}. \]

Ответ:

\[ \boxed{15\ \text{м/с вниз}} \]

или в виде проекции скорости:

\[ \boxed{v=-15\ \text{м/с}}. \]

Задача 2

Дано

Тело брошено вертикально вверх:

\[ v_0 — \text{начальная скорость},\qquad g — \text{ускорение свободного падения}. \]

Найти и доказать:

\[ t_{\text{полёта}}=2t_{\text{подъёма}}. \]

СИ

Все величины выражены в единицах СИ.

Решение

Время подъёма найдём из формулы скорости:

\[ v=v_0-gt. \]

В верхней точке скорость тела равна нулю:

\[ 0=v_0-gt_{\text{подъёма}}, \]

откуда

\[ t_{\text{подъёма}}=\frac{v_0}{g}. \]

За всё время полёта тело возвращается в исходную точку, поэтому его перемещение равно нулю:

\[ s=v_0t_{\text{полёта}}-\frac{gt_{\text{полёта}}^2}{2}=0. \]

Вынесем \(t_{\text{полёта}}\) за скобки:

\[ t_{\text{полёта}} \left(v_0-\frac{gt_{\text{полёта}}}{2}\right)=0. \]

Так как время полёта не равно нулю:

\[ v_0-\frac{gt_{\text{полёта}}}{2}=0, \]

\[ t_{\text{полёта}}=\frac{2v_0}{g}. \]

Сравним времена:

\[ t_{\text{полёта}}=\frac{2v_0}{g} =2\cdot\frac{v_0}{g} =2t_{\text{подъёма}}. \]

Ответ

\[ \boxed{t_{\text{полёта}}=2t_{\text{подъёма}}} \]

---

Задача 3

Дано

\[ v_0=15\ \text{м/с} \]

\[ g=9{,}8\ \text{м/с}^2 \]

При возвращении в точку броска:

\[ s=0 \]

Найти:

\[ v-? \]

СИ

Все величины даны в единицах СИ.

Решение

Время подъёма:

\[ t_{\text{подъёма}}=\frac{v_0}{g}. \]

По задаче 2 время всего полёта в два раза больше:

\[ t_{\text{полёта}}=\frac{2v_0}{g}. \]

Скорость тела найдём по формуле:

\[ v=v_0-gt_{\text{полёта}}. \]

Подставим значения:

\[ v=15-9{,}8\cdot\frac{2\cdot15}{9{,}8}, \]

\[ v=15-30=-15\ \text{м/с}. \]

Знак «минус» означает, что тело движется вниз. Скорость как физическая величина равна:

\[ |v|=15\ \text{м/с}. \]

Ответ

\[ \boxed{v=15\ \text{м/с}} \]

направлена вертикально вниз.