Реши задание на изображении

Пришли, пожалуйста, крупный фрагмент изображения с заданием 112 или перепиши его условие — тогда решу полностью.

Это продолжение текущего задания: на изображении хорошо видно упражнение 112.

112. Постройте график функции и опишите её свойства

а) \(y=-3x+1\)

Для построения можно взять точки:

\[ \begin{array}{c|ccc} x&0&1&\frac13\\ \hline y&1&-2&0 \end{array} \]

График — прямая, проходящая через точки \((0;1)\) и \((1;-2)\).

Свойства:

• область определения: \(D(y)=\mathbb R\);
• область значений: \(E(y)=\mathbb R\);
• функция убывает на всей числовой прямой;
• нуль функции: \(x=\frac13\);
• \(y>0\) при \(x<\frac13\), \(y<0\) при \(x>\frac13\);
• функция ни чётная, ни нечётная.

---

б) \(y=5+2x\)

Точки для построения:

\[ \begin{array}{c|ccc} x&0&1&-\frac52\\ \hline y&5&7&0 \end{array} \]

График — прямая, проходящая через точки \((0;5)\) и \((1;7)\).

Свойства:

• \(D(y)=\mathbb R\);
• \(E(y)=\mathbb R\);
• функция возрастает на всей числовой прямой;
• нуль функции: \(x=-\frac52\);
• \(y>0\) при \(x>-\frac52\), \(y<0\) при \(x<-\frac52\);
• функция ни чётная, ни нечётная.

---

в) \(y=-\dfrac3x\)

Точки для построения:

\[ \begin{array}{c|cccc} x&-3&-1&1&3\\ \hline y&1&3&-3&-1 \end{array} \]

График — гипербола, её ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты:

\[ x=0,\qquad y=0. \]

Свойства:

• \(D(y)=\mathbb R\setminus\{0\}\);
• \(E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}\);
• функция возрастает на промежутках \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\);
• нулей функции нет;
• \(y>0\) при \(x<0\), \(y<0\) при \(x>0\);
• функция нечётная.

---

г) \(y=\dfrac1{2x}\)

Точки для построения:

\[ \begin{array}{c|cccc} x&-2&-1&1&2\\ \hline y&-\frac14&-\frac12&\frac12&\frac14 \end{array} \]

График — гипербола, ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты:

\[ x=0,\qquad y=0. \]

Свойства:

• \(D(y)=\mathbb R\setminus\{0\}\);
• \(E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}\);
• функция убывает на промежутках \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\);
• нулей функции нет;
• \(y>0\) при \(x>0\), \(y<0\) при \(x<0\);
• функция нечётная.

---

д) \(y=-x^2\)

Точки для построения:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&-4&-1&0&-1&-4 \end{array} \]

График — парабола, направленная ветвями вниз. Вершина:

\[ (0;0). \]

Ось симметрии:

\[ x=0. \]

Свойства:

• \(D(y)=\mathbb R\);
• \(E(y)=(-\infty;0]\);
• функция возрастает на \((-\infty;0]\);
• функция убывает на \([0;+\infty)\);
• наибольшее значение: \(y_{\max}=0\) при \(x=0\);
• нуль функции: \(x=0\);
• \(y<0\) при \(x\ne0\);
• функция чётная.

---

е) \(y=-x^3\)

Точки для построения:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&8&1&0&-1&-8 \end{array} \]

График — кубическая парабола, проходящая через начало координат.

Свойства:

• \(D(y)=\mathbb R\);
• \(E(y)=\mathbb R\);
• функция убывает на всей числовой прямой;
• нуль функции: \(x=0\);
• \(y>0\) при \(x<0\), \(y<0\) при \(x>0\);
• функция нечётная.

Точка на графике записывается как \((x; y)\). Чтобы её найти:

1. выбираем значение \(x\);
2. подставляем его в формулу;
3. вычисляем \(y\);
4. получаем точку \((x; y)\).

Пример

Для функции

\[ y=-3x+1 \]

возьмём \(x=0\):

\[ y=-3\cdot0+1=1. \]

Получили точку:

\[ (0;1). \]

Возьмём \(x=1\):

\[ y=-3\cdot1+1=-2. \]

Получили точку:

\[ (1;-2). \]

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и проводим через них прямую.

---

Как вычисляются точки для остальных функций

б) \(y=5+2x\)

\[ \begin{array}{c|ccc} x&-1&0&1\\ \hline y=5+2x&3&5&7 \end{array} \]

Точки:

\[ (-1;3),\quad (0;5),\quad (1;7). \]

---

в) \(y=-\dfrac{3}{x}\)

Здесь \(x\ne0\), потому что на ноль делить нельзя.

Например:

\[ \begin{array}{c|cccc} x&-3&-1&1&3\\ \hline y=-\dfrac3x&1&3&-3&-1 \end{array} \]

Проверка:

\[ x=-3:\quad y=-\frac3{-3}=1; \]

\[ x=1:\quad y=-\frac31=-3. \]

Точки:

\[ (-3;1),\quad(-1;3),\quad(1;-3),\quad(3;-1). \]

---

г) \(y=\dfrac1{2x}\)

Также \(x\ne0\).

\[ \begin{array}{c|cccc} x&-2&-1&1&2\\ \hline y=\dfrac1{2x}&-\frac14&-\frac12&\frac12&\frac14 \end{array} \]

Например, при \(x=2\):

\[ y=\frac1{2\cdot2}=\frac14. \]

Точка:

\[ \left(2;\frac14\right). \]

---

д) \(y=-x^2\)

Здесь сначала возводим \(x\) в квадрат, а затем ставим знак «минус»:

\[ x=2:\quad y=-2^2=-4; \]

\[ x=-2:\quad y=-(-2)^2=-4. \]

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=-x^2&-4&-1&0&-1&-4 \end{array} \]

Точки:

\[ (-2;-4),\ (-1;-1),\ (0;0),\ (1;-1),\ (2;-4). \]

---

е) \(y=-x^3\)

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=-x^3&8&1&0&-1&-8 \end{array} \]

Например:

\[ x=-2:\quad y=-(-2)^3=-(-8)=8; \]

\[ x=1:\quad y=-1^3=-1. \]

Точки:

\[ (-2;8),\ (-1;1),\ (0;0),\ (1;-1),\ (2;-8). \]

Для прямой обычно достаточно двух точек, а для параболы и гиперболы лучше взять несколько точек.

Да. Ниже — схематичные графики функций из задания 112. В тетради сначала отметь указанные точки, затем соедини их нужной линией.

а) \(y=-3x+1\)

Точки:

\[ (-1;4),\quad (0;1),\quad (1;-2). \]

Соедини их прямой:

 y
 4 | ●
 3 |   ╲
 2 |     ╲
 1 |       ●
 0 +---------╲--------→ x
-1 |           ╲
-2 |             ●

---

б) \(y=2x+5\)

Точки:

\[ (-2;1),\quad (-1;3),\quad (0;5),\quad (1;7). \]

Соедини их прямой:

 y
 7 |             ●
 6 |           ╱
 5 |         ●
 4 |       ╱
 3 |     ●
 2 |   ╱
 1 | ●
 0 +------------------→ x

---

в) \(y=-\dfrac3x\)

Точки:

\[ (-3;1),\quad (-1;3),\quad (1;-3),\quad (3;-1). \]

Получится гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Оси \(x=0\) и \(y=0\) она не пересекает:

 y
 4 |        ╱
 3 |      ●
 2 |    ╱
 1 | ●╱
 0 +---------┼------------→ x
-1 |                 ●
-2 |             ╱
-3 |           ●

Ветви нужно провести плавно, приближая их к осям, но не касаясь их.

---

г) \(y=\dfrac1{2x}\)

Удобные точки:

\[ \left(-\frac12;-1\right),\quad (-1;-\tfrac12), \quad \left(\frac12;1\right),\quad (1;\tfrac12). \]

Гипербола расположена в I и III четвертях:

 y
 2 |       ╲
 1 |        ●╲
 0 +---------┼------------→ x
-1 |    ╱●
-2 |  ╱

Её ветви также приближаются к осям \(x=0\) и \(y=0\), но не пересекают их.

---

д) \(y=-x^2\)

Точки:

\[ (-2;-4),\quad (-1;-1),\quad (0;0),\quad (1;-1),\quad (2;-4). \]

Проведи через них плавную параболу:

 y
 0 |          ●
-1 |       ●     ●
-2 |     ╱         ╲
-3 |   ╱             ╲
-4 | ●                 ●
   +----------------------→ x

Вершина параболы — \((0;0)\), ветви направлены вниз.

---

е) \(y=-x^3\)

Точки:

\[ (-2;8),\quad (-1;1),\quad (0;0),\quad (1;-1),\quad (2;-8). \]

Соедини точки плавной S-образной линией:

 y
 8 | ●
 6 |  ╲
 4 |   ╲
 2 |    ●
 1 |     ╲
 0 |       ●
-1 |        ╲ ●
-4 |           ╲
-8 |             ●
   +----------------------→ x

Для прямых а и б достаточно двух точек. Для параболы и гипербол лучше отметить несколько точек и соединить их плавно.

Вот готовые схемы графиков всех функций из задания 112. В тетради отметь указанные точки и соедини их.

а) \(y=-3x+1\)

Точки:

\[ (-1;4),\quad (0;1),\quad (1;-2). \]

Через них проведи прямую:

 y
 4 | ●
 3 |  ╲
 2 |   ╲
 1 |    ●
 0 +-----┼------→ x
-1 |      ╲
-2 |       ●
     -1   0   1

---

б) \(y=2x+5\)

Точки:

\[ (-2;1),\quad (-1;3),\quad (0;5),\quad (1;7). \]

 y
 7 |        ●
 6 |       ╱
 5 |     ●
 4 |    ╱
 3 |  ●
 2 | ╱
 1 |●
 0 +--------┼--------→ x
     -2 -1  0  1

---

в) \(y=-\dfrac{3}{x}\)

Точки:

\[ (-3;1),\quad (-1;3),\quad (1;-3),\quad (3;-1). \]

 y
 4 |       ╱
 3 |    ●╱
 2 |   ╱
 1 | ●╱
 0 +------┼--------→ x
-1 |       ╲●
-2 |        ╲
-3 |         ●

Получается гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Оси \(x=0\) и \(y=0\) график не пересекает.

---

г) \(y=\dfrac{1}{2x}\)

Удобные точки:

\[ \left(-\frac12;-1\right),\quad \left(-1;-\frac12\right),\quad \left(\frac12;1\right),\quad \left(1;\frac12\right). \]

 y
 2 |       ╲
 1 |        ●╲
 0 +------┼--------→ x
-1 |   ╱●
-2 |  ╱

Ветви гиперболы находятся в I и III четвертях.

---

д) \(y=-x^2\)

Точки:

\[ (-2;-4),\quad (-1;-1),\quad (0;0),\quad (1;-1),\quad (2;-4). \]

 y
 0 |        ●
-1 |     ●     ●
-2 |      ╲   ╱
-3 |       ╲ ╱
-4 | ●      ┴      ●
     -2  -1  0  1  2

Получается парабола с вершиной \((0;0)\), ветви направлены вниз.

---

е) \(y=-x^3\)

Точки:

\[ (-2;8),\quad (-1;1),\quad (0;0),\quad (1;-1),\quad (2;-8). \]

 y
 8 | ●
 6 |  ╲
 4 |   ╲
 2 |    ╲
 1 |      ●
 0 +--------┼--------→ x
-1 |          ●
-2 |           ╲
-4 |            ╲
-6 |             ╲
-8 |              ●

Через точки проведи плавную S-образную кривую, проходящую через начало координат.

Чтобы определить, является ли функция чётной или нечётной, нужно:

1. Найти \(f(-x)\), то есть заменить \(x\) на \(-x\).
2. Сравнить результат с \(f(x)\) и \(-f(x)\).

Правила

• Если
  \[ f(-x)=f(x), \] функция чётная. Её график симметричен относительно оси \(Oy\).

• Если
  \[ f(-x)=-f(x), \] функция нечётная. Её график симметричен относительно начала координат.

• Если ни одно равенство не выполняется, функция ни чётная, ни нечётная.

Важно: область определения должна быть симметрична относительно нуля. Например, если функция определена при \(x\), то она должна быть определена и при \(-x\).

Примеры из задания 112

\(y=-x^2\)

\[ f(-x)=-(-x)^2=-x^2=f(x). \]

Значит, функция чётная.

---

\(y=-x^3\)

\[ f(-x)=-(-x)^3=x^3. \]

А

\[ -f(x)=-(-x^3)=x^3. \]

Значит,

\[ f(-x)=-f(x), \]

функция нечётная.

---

\(y=-\dfrac3x\)

\[ f(-x)=-\frac3{-x}=\frac3x. \]

При этом

\[ -f(x)=-\left(-\frac3x\right)=\frac3x. \]

Функция нечётная.

---

\(y=-3x+1\)

\[ f(-x)=-3(-x)+1=3x+1. \]

Но

\[ f(x)=-3x+1,\qquad -f(x)=3x-1. \]

Полученный результат не равен ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\). Поэтому функция ни чётная, ни нечётная.

Итог:

\[ \begin{array}{c|c} \text{Функция} & \text{Вид}\\ \hline y=-3x+1 & \text{ни чётная, ни нечётная}\\ y=5+2x & \text{ни чётная, ни нечётная}\\ y=-\dfrac3x & \text{нечётная}\\ y=\dfrac1{2x} & \text{нечётная}\\ y=-x^2 & \text{чётная}\\ y=-x^3 & \text{нечётная} \end{array} \]

Для буквы г строим график функции

\[ y=\frac{1}{2x},\qquad x\ne0. \]

Схематично график выглядит так:

                         y
                         ↑
                    ╲    │
                     ╲   │
                      ╲ ●│
                       ╲ │  ●
────────────────────────┼────────────────→ x
                 ●╲     │
                   ╲●    │
                     ╲   │

Точки для построения:

\[ \begin{array}{c|cccccc} x&-2&-1&-\frac12&\frac12&1&2\\ \hline y&-\frac14&-\frac12&-1&1&\frac12&\frac14 \end{array} \]

Отметь эти точки и проведи через них две плавные ветви гиперболы:

• одна ветвь — в I четверти;
• другая — в III четверти;
• оси \(Ox\) и \(Oy\) являются асимптотами: график к ним приближается, но не пересекает.

\[ -\frac12=-0{,}5 \]

Это точка ровно посередине между \(0\) и \(-1\).

Для функции

\[ y=\frac1{2x} \]

есть две точки с координатой \(-\frac12\):

• если \(x=-\frac12\), то
  \[ y=\frac1{2\cdot(-\frac12)}=-1, \] поэтому отмечаем точку
  \[ \left(-\frac12;-1\right); \]

• если \(y=-\frac12\), то точка
  \[ \left(-1;-\frac12\right). \]

То есть \(-\frac12\) на оси отмечается между \(0\) и \(-1\), на половине расстояния.