Реши 7 задание

Это продолжение текущей учебной цели: на изображении приведено задание 7.

Доказательство. Пусть \(A=(a_{ij})\) и \(B=(b_{ij})\) — согласованные матрицы. Тогда для элемента с индексами \(i,j\):

\[ \bigl((AB)^T\bigr)_{ij}=(AB)_{ji} =\sum_k a_{jk}b_{ki}. \]

С другой стороны,

\[ (B^TA^T)_{ij} =\sum_k (B^T)_{ik}(A^T)_{kj} =\sum_k b_{ki}a_{jk}. \]

Так как числа перемножаются в любом порядке,

\[ \sum_k a_{jk}b_{ki}=\sum_k b_{ki}a_{jk}. \]

Следовательно, соответствующие элементы матриц равны, поэтому

\[ \boxed{(AB)^T=B^TA^T}. \]