1.7 весь и 1.5 а,б
Краткий ответ:
1.7
а)
\[
(1+x+x^2+x^3)^2=x^6+2x^5+3x^4+4x^3+3x^2+2x+1.
\]
б)
\[
(1-x+x^2-x^3+x^4)^2=
x^8-2x^7+3x^6-4x^5+5x^4-4x^3+3x^2-2x+1.
\]
1.5
а)
\[
(x^2-3x+2)^2-(x^2-x)^2
=-4x^3+12x^2-12x+4.
\]
б)
\[
(x+1)(x^7-x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+x-1)=x^8-1.
\]
Решение
1.5 а)
Используем формулу разности квадратов:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]
Тогда
\[ \begin{aligned} &(x^2-3x+2)^2-(x^2-x)^2\\ &=\bigl((x^2-3x+2)-(x^2-x)\bigr) \bigl((x^2-3x+2)+(x^2-x)\bigr)\\ &=(-2x+2)(2x^2-4x+2). \end{aligned} \]
Вынесем множители:
\[ (-2x+2)(2x^2-4x+2) =-2(x-1)\cdot 2(x-1)^2 =-4(x-1)^3. \]
Раскрываем куб разности:
\[ -4(x-1)^3=-4(x^3-3x^2+3x-1), \]
\[ \boxed{-4x^3+12x^2-12x+4}. \]
1.5 б)
Раскрываем скобки:
\[ \begin{aligned} &(x+1)(x^7-x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+x-1)\\ &=x^8-x^7+x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x\\ &\quad+x^7-x^6+x^5-x^4+x^3-x^2+x-1. \end{aligned} \]
Все промежуточные слагаемые уничтожаются:
\[ \boxed{x^8-1}. \]
1.7 а)
При возведении суммы в квадрат коэффициенты сначала возрастают, а затем убывают:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1. \]
Поэтому
\[ (1+x+x^2+x^3)^2 =1+2x+3x^2+4x^3+3x^4+2x^5+x^6. \]
В стандартном виде:
\[ \boxed{x^6+2x^5+3x^4+4x^3+3x^2+2x+1}. \]
1.7 б)
Знаки чередуются, поэтому коэффициенты имеют вид
\[ 1,\ -2,\ 3,\ -4,\ 5,\ -4,\ 3,\ -2,\ 1. \]
Следовательно,
\[ \boxed{x^8-2x^7+3x^6-4x^5+5x^4-4x^3+3x^2-2x+1}. \]
Проверка: в обоих квадратах коэффициенты симметричны, что верно для квадрата многочлена с симметричными коэффициентами.
