56-57

Краткие ответы

56.

а) \(\displaystyle \frac{27-13x}{x}\);

б) \(\displaystyle \frac{15p-2}{3p^2}\);

в) \(\displaystyle \frac{2y-5}{5y}\);

г) \(\displaystyle \frac{2p-11q}{5p}\);

д) \(\displaystyle -\frac dc\);

е) \(\displaystyle \frac{12}{b}\).

57.

а) \(-x-4\);

б) \(5-a\);

в) \(\displaystyle \frac{3}{a+b}\);

г) \(\displaystyle \frac{1}{x-8}\);

д) \(\displaystyle -\frac{3}{a-b}\);

е) \(\displaystyle \frac{2}{x+y}\).

Ключевой принцип

Если знаменатели одинаковые, складываем или вычитаем только числители:

\[ \frac{A}{D}+\frac{B}{D}=\frac{A+B}{D}. \]

При вычитании обязательно ставим скобки перед вторым числителем.

Задание 56

а)

\[ \frac{17-12x}{x}+\frac{10-x}{x} =\frac{17-12x+10-x}{x} =\frac{27-13x}{x}. \]

б)

\[ \frac{12p-1}{3p^2}-\frac{1-3p}{3p^2} =\frac{12p-1-(1-3p)}{3p^2} =\frac{15p-2}{3p^2}. \]

в)

\[ \frac{3y-3}{5y}-\frac{y+2}{5y} =\frac{3y-3-y-2}{5y} =\frac{2y-5}{5y}. \]

г)

\[ \frac{3p-q-(2p+6q)+(p-4q)}{5p} =\frac{2p-11q}{5p}. \]

д)

\[ \frac{5c-2d-3d+d-5c}{4c} =\frac{-4d}{4c} =-\frac dc. \]

е)

\[ \frac{2a-(1-6a)+(13-8a)}{b} =\frac{2a-1+6a+13-8a}{b} =\frac{12}{b}. \]

Задание 57

Здесь после объединения дробей применяем формулу разности квадратов:

\[ u^2-v^2=(u-v)(u+v). \]

а)

\[ \frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4} =\frac{16-x^2}{x-4} =\frac{-(x-4)(x+4)}{x-4} =-(x+4)=-x-4. \]

б)

\[ \frac{25}{a+5}-\frac{a^2}{a+5} =\frac{25-a^2}{a+5} =\frac{(5-a)(5+a)}{a+5} =5-a. \]

в)

\[ \frac{3a-1-(3b-1)}{a^2-b^2} =\frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)} =\frac{3}{a+b}. \]

г)

\[ \frac{x-3+11}{x^2-64} =\frac{x+8}{(x-8)(x+8)} =\frac1{x-8}. \]

д)

\[ \frac{2a+b+2b-5a}{(a-b)^2} =\frac{-3(a-b)}{(a-b)^2} =-\frac3{a-b}. \]

е)

\[ \frac{13x+6y-(11x+4y)}{(x+y)^2} =\frac{2x+2y}{(x+y)^2} =\frac{2(x+y)}{(x+y)^2} =\frac2{x+y}. \]

Ограничения: в исходных выражениях знаменатель не должен быть равен нулю. Например, в 57(в) \(a\ne b\) и \(a\ne -b\), даже после сокращения.