реши номер 374
Объяснение математической задачи
Мне нужно решить русскую математическую задачу, которая заключается в нахождении натуральных чисел \( n \), для которых \( \sqrt{n^2 - 75} \) является натуральным числом. Это приводит меня к рассмотрению уравнения \( n^2 - m^2 = 75 \). Поскольку я ищу положительные целые числа, мне нужно рассмотреть пары целых множителей числа 75, которые все нечётные. Я нахожу подходящие пары и вычисляю возможные значения \( n \). В итоге я получаю возможные значения \( n \): 10, 14 и 38.
Уточнение задачи с натуральными числами
Мне нужно внимательно подойти к вопросу о натуральных числах и разложении на множители в этой задаче. Уравнение получается при обозначении \( \sqrt{} = m \), что приводит к \( n^2 - 75 = m^2 \), то есть к разности квадратов. Поскольку 75 положительно, это означает, что \( n > m \). Я выделяю положительные пары делителей числа 75 и вычисляю значения \( n \) и \( m \). Пары множителей дают значения \( n \), равные 10, 14 и 38. Также нужно отметить, что если считать 0 натуральным числом, это не меняет множество подходящих решений.
Краткий ответ: \(\boxed{n=10,\ 14,\ 38}\).
Пусть корень является натуральным числом \(m\). Тогда
\[ \sqrt{n^2-75}=m, \]
откуда
\[ n^2-m^2=75. \]
Разложим разность квадратов:
\[ (n-m)(n+m)=75. \]
Положительные пары множителей числа \(75\):
\[ \begin{array}{c|c|c|c} n-m & n+m & n & m\\ \hline 1 & 75 & \frac{1+75}{2}=38 & \frac{75-1}{2}=37\\ 3 & 25 & \frac{3+25}{2}=14 & \frac{25-3}{2}=11\\ 5 & 15 & \frac{5+15}{2}=10 & \frac{15-5}{2}=5 \end{array} \]
Следовательно,
\[ \boxed{n\in\{10,14,38\}}. \]
Проверка:
\[ \sqrt{10^2-75}=5,\qquad \sqrt{14^2-75}=11,\qquad \sqrt{38^2-75}=37. \]
