решить номер 94
Вычисление математических выражений
Я работаю с некоторыми математическими выражениями. Для \(32^{-3/5}\) я понимаю, что его можно переписать как \(1/(32^{3/5})\), затем упростить до \(1/(2^3)\), что даёт \(1/8\). Для выражения \((27/64)^{2/3}\) я вижу, что кубический корень из дроби равен \(3/4\), а возведение этого числа в квадрат даёт \(9/16\). Похоже, это правильно!
Вычисление дробей и корней
Я перевожу \(2 \frac{1}{4}\) в неправильную дробь, что даёт \(9/4\). Для операций \((0,3)^{-3}\) записывается как \((3/10)^{-3}=(10/3)^3=1000/27\).
Я работаю с корнями, например \(\sqrt[6]{8^2}\), и упрощаю его до \(2\). С другими корнями я поступаю аналогично и подтверждаю вычисления, например \( (27/64)^{2/3}=9/16\).
Я включу проверки с отрицательными показателями, чтобы убедиться в полученных значениях. Поскольку всё готово, я могу предложить: «Попробуй решить номер 95 по этим правилам», чтобы пользователь продолжил работу.
Краткий ответ
94.
\[ 1;\quad \frac1{100};\quad \frac32;\quad \frac{1000}{27};\quad \frac{25}{36};\quad \frac{16}{81}. \]
\[ 3;\quad 3;\quad 2;\quad 2;\quad 2;\quad 9. \]
\[ 2;\quad 9;\quad 10;\quad 4;\quad \frac18;\quad \frac9{16}. \]
Решение
Используем правила:
\[ a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}. \]
1)
\[ 48^0=1. \]
\[ 10^{-2}=\frac1{10^2}=\frac1{100}. \]
\[ \left(\frac23\right)^{-1}=\frac32. \]
\[ (0,3)^{-3}=\left(\frac3{10}\right)^{-3} =\left(\frac{10}{3}\right)^3=\frac{1000}{27}. \]
\[ (-1,2)^{-2}=\left(-\frac65\right)^{-2} =\left(-\frac56\right)^2=\frac{25}{36}. \]
\[ \left(2\frac14\right)^{-2} =\left(\frac94\right)^{-2} =\left(\frac49\right)^2=\frac{16}{81}. \]
2)
\[ \sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[4]{81}=3,\qquad \sqrt[5]{32}=2. \]
\[ \sqrt[6]{8^2}=\sqrt[6]{(2^3)^2} =\sqrt[6]{2^6}=2. \]
\[ \sqrt[8]{16^2}=\sqrt[8]{(2^4)^2} =\sqrt[8]{2^8}=2. \]
\[ \sqrt[3]{27^2}=\sqrt[3]{(3^3)^2} =\sqrt[3]{3^6}=3^2=9. \]
3)
\[ 8^{\frac13}=\sqrt[3]{8}=2. \]
\[ 27^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9. \]
\[ 10000^{\frac14}=\sqrt[4]{10000}=10. \]
\[ 32^{\frac25}=\left(\sqrt[5]{32}\right)^2=2^2=4. \]
\[ 32^{-\frac35}=\frac1{32^{\frac35}} =\frac1{2^3}=\frac18. \]
\[ \left(\frac{27}{64}\right)^{\frac23} =\left(\sqrt[3]{\frac{27}{64}}\right)^2 =\left(\frac34\right)^2=\frac9{16}. \]
Проверка отрицательных степеней: результат является обратным числом соответствующей положительной степени, например
\[
(0,3)^3=\frac{27}{1000},\qquad
\frac{1000}{27}\cdot\frac{27}{1000}=1.
\]
