Реши 134,135,136
Организация вычислений и визуализаций
Думаю, будет хорошо начать с кратких ответов, возможно, используя таблицу, а затем перейти к более подробным объяснениям. Мне нужно решить всё, включая визуализацию для 134, что может включать перечисление нескольких членов и числовую прямую в текстовом виде. Следует вычислить члены, начиная с \(n=1\), и показать эти значения. Для числа 134 это включает такие значения, как 1, 1/2, 1/3, 1/4, и положительное приближение к 0.
Уточнение шагов математического доказательства
Я прорабатываю некоторые шаги математического доказательства, сосредоточившись на таких условиях, как \(n\) — натуральное число и \(n\) больше или равно единице. Кажется полезным составить таблицу с подробными объяснениями каждого ключевого шага. Я постараюсь обеспечить ясность, чтобы понимание было полным.
Например, я могу перечислить каждый шаг: начиная с выбора членов и последовательно переходя через процесс. Также я могу ссылаться на полученные ранее результаты, чтобы обосновать утверждения о стремлении членов к нулю.
Рассмотрение математических пределов
Я обдумываю возможные проблемы с некоторыми последовательностями. Для #2, \((-1)^n/n\) при \(n=1\) начинается с отрицательного значения, что нормально для анализа. Для #3, \((n+1)/n\) стремится к пределу, равному 1. Затем для #4, \((n-2)/n\) также достигает предела, равного 1. Я должен выразить это с помощью числовой прямой в текстовой форме, возможно, начав с «0 • ...?», поскольку пользователь хочет получить решение, а не графический рисунок.
Краткий ответ
134.
- \(x_n\to0\);
- \(x_n\to0\);
- \(x_n\to1\);
- \(x_n\to1\).
135. Во всех шести случаях \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0\).
136.
- \(1\); 2) \(2\); 3) \(3\); 4) \(1\).
134
Вычислим несколько первых членов последовательностей.
- \[ x_n=\frac1n:\qquad 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Все точки находятся справа от \(0\) и приближаются к нему:
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}x_n=0}. \]
- \[ x_n=\frac{(-1)^n}{n}:\qquad -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ -\frac15,\ldots \]
Члены чередуются по сторонам от \(0\), но расстояние до \(0\) равно \(\frac1n\) и уменьшается:
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}x_n=0}. \]
- \[ x_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac1n: \qquad 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54,\ldots \]
Все члены больше \(1\), но \(\frac1n\to0\), поэтому
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}x_n=1}. \]
- \[ x_n=\frac{n-2}{n}=1-\frac2n: \qquad -1,\ 0,\ \frac13,\ \frac12,\ \frac35,\ldots \]
Члены приближаются к \(1\) слева:
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}x_n=1}. \]
135
По определению:
\[ \lim_{n\to\infty}x_n=0 \]
если для любого \(\varepsilon>0\) можно выбрать такое натуральное \(N\), что при \(n>N\)
\[ |x_n|<\varepsilon. \]
1) \(\displaystyle x_n=\frac1{n+1}\)
Выберем \(N>\frac1\varepsilon\). Тогда при \(n>N\)
\[ |x_n|=\frac1{n+1}<\frac1n<\varepsilon. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}\frac1{n+1}=0}. \]
2) \(\displaystyle x_n=\frac1{\sqrt[3]{n}}\)
Выберем \(N>\frac1{\varepsilon^3}\). При \(n>N\):
\[ n>\frac1{\varepsilon^3} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt[3]{n}>\frac1\varepsilon. \]
Значит,
\[ |x_n|=\frac1{\sqrt[3]{n}}<\varepsilon. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt[3]{n}}=0}. \]
3) \(\displaystyle x_n=\frac1{n^3}\)
Выберем \(N>\frac1{\sqrt[3]{\varepsilon}}\). Тогда
\[ n>N>\frac1{\sqrt[3]{\varepsilon}} \quad\Longrightarrow\quad n^3>\frac1\varepsilon. \]
Поэтому
\[ |x_n|=\frac1{n^3}<\varepsilon. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}=0}. \]
4) \(\displaystyle x_n=\frac1{2^n}\)
Выберем натуральное \(N\), для которого
\[ N>\log_2\frac1\varepsilon. \]
Тогда при \(n>N\)
\[ 2^n>\frac1\varepsilon, \]
следовательно,
\[ |x_n|=\frac1{2^n}<\varepsilon. \]
Значит,
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}\frac1{2^n}=0}. \]
5) \(\displaystyle x_n=\frac1{3n+2}\)
Выберем \(N>\frac1{3\varepsilon}\). Тогда при \(n>N\)
\[ 3n+2>3n>\frac1\varepsilon. \]
Следовательно,
\[ |x_n|=\frac1{3n+2}<\varepsilon. \]
Значит,
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}\frac1{3n+2}=0}. \]
6) \(\displaystyle x_n=\frac{n+1}{n^2}\)
Преобразуем:
\[ x_n=\frac{n+1}{n^2} =\frac1n+\frac1{n^2}. \]
При \(n\ge1\) имеем \(\frac1{n^2}\le\frac1n\), поэтому
\[ 0<x_n\le\frac2n. \]
Выберем \(N>\frac2\varepsilon\). Тогда при \(n>N\)
\[ |x_n|=x_n\le\frac2n<\varepsilon. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n^2}=0}. \]
136
Используем то, что \(\frac1n\to0\).
- \[ x_n=\frac{n-1}{n}=1-\frac1n. \]
Поэтому
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}x_n=1}. \]
- \[ x_n=\frac{2n^2-1}{n^2} =2-\frac1{n^2}. \]
Так как \(\frac1{n^2}\to0\), то
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}x_n=2}. \]
- \[ x_n=\frac{3n+4}{n} =3+\frac4n. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}x_n=3}. \]
- \[ x_n=\frac{n-3}{n+1} =\frac{n+1-4}{n+1} =1-\frac4{n+1}. \]
Так как \(\frac4{n+1}\to0\), получаем
\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}x_n=1}. \]
Проверка: в каждом выражении остаётся постоянная часть, а дробная часть с \(n\) в знаменателе стремится к нулю.
