Преобразуйте в дробь выражение: а) (5a–1)/12a + (a+6)/15a; б) (6x–y)/14x – (x–4y)/21x. Представьте в виде дроби: а) (a+b)/a – a/(a–b); б) n/(n+5) + n/(n–5). Упростите выражение (y+2)/(y2–2y) – (y+4)/(y2–4) и найдите его значение при у = –3.
Краткий ответ
Преобразуйте в дробь:
а) \(\displaystyle \frac{29a+19}{60a}\), \(a\ne0\);
б) \(\displaystyle \frac{16x+5y}{42x}\), \(x\ne0\).Представьте в виде дроби:
а) \(\displaystyle -\frac{b^2}{a(a-b)}\), \(a\ne0,\ a\ne b\);
б) \(\displaystyle \frac{2n^2}{n^2-25}\), \(n\ne\pm5\).\[ \frac{y+2}{y^2-2y}-\frac{y+4}{y^2-4} =\frac{4}{y(y-2)(y+2)}. \] При \(y=-3\): \[ -\frac4{15}. \]
Решение
1а
Общий знаменатель для \(12a\) и \(15a\) — \(60a\):
\[ \frac{5a-1}{12a}+\frac{a+6}{15a} = \frac{5(5a-1)+4(a+6)}{60a}. \]
Раскроем скобки:
\[ \frac{25a-5+4a+24}{60a} = \boxed{\frac{29a+19}{60a}}. \]
1б
Общий знаменатель для \(14x\) и \(21x\) — \(42x\):
\[ \frac{6x-y}{14x}-\frac{x-4y}{21x} = \frac{3(6x-y)-2(x-4y)}{42x}. \]
\[ \frac{18x-3y-2x+8y}{42x} = \boxed{\frac{16x+5y}{42x}}. \]
2а
Разложим общий знаменатель:
\[ \frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b} = \frac{(a+b)(a-b)-a^2}{a(a-b)}. \]
Используем формулу разности квадратов:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \]
Тогда
\[ \frac{a^2-b^2-a^2}{a(a-b)} = \boxed{-\frac{b^2}{a(a-b)}}. \]
2б
Общий знаменатель:
\[ (n+5)(n-5)=n^2-25. \]
\[ \frac{n}{n+5}+\frac{n}{n-5} = \frac{n(n-5)+n(n+5)}{(n+5)(n-5)}. \]
\[ \frac{n^2-5n+n^2+5n}{n^2-25} = \boxed{\frac{2n^2}{n^2-25}}. \]
3
Разложим знаменатели на множители:
\[ y^2-2y=y(y-2),\qquad y^2-4=(y-2)(y+2). \]
Получаем:
\[ \frac{y+2}{y(y-2)} - \frac{y+4}{(y-2)(y+2)}. \]
Общий знаменатель:
\[ y(y-2)(y+2). \]
\[ \frac{(y+2)^2-y(y+4)}{y(y-2)(y+2)}. \]
В числителе:
\[ (y+2)^2-y(y+4) =y^2+4y+4-y^2-4y=4. \]
Значит,
\[ \boxed{\frac{4}{y(y-2)(y+2)}}. \]
При \(y=-3\):
\[ \frac{4}{(-3)(-5)(-1)} = \boxed{-\frac4{15}}. \]
Проверка по исходному выражению:
\[ \frac{-1}{15}-\frac15 = -\frac1{15}-\frac3{15} = -\frac4{15}. \]
