Реши Планте 3.20
Краткий ответ. Для положения точек, показанного на рис. 3.41, сечение — пятиугольник
\[
\boxed{EB_1FQP},
\]
где \(P\in AD\), \(Q\in CD\).
Пусть \(\alpha=(EB_1F)\).
- На грани \(ABB_1A_1\) плоскость \(\alpha\) пересекается по отрезку \(EB_1\).
- На грани \(BCC_1B_1\) плоскость \(\alpha\) пересекается по отрезку \(B_1F\).
- Продолжим прямую \(EB_1\) до пересечения с прямой \(AB\) в точке \(X\).
- Продолжим прямую \(B_1F\) до пересечения с прямой \(BC\) в точке \(Y\).
Точки \(X\) и \(Y\) лежат и в плоскости \(\alpha\), и в плоскости основания \(ABCD\). Поэтому прямая \(XY\) — линия пересечения этих плоскостей.
- Построим: \[ P=XY\cap AD,\qquad Q=XY\cap CD. \]
- Соединим \(E\) с \(P\), а \(F\) с \(Q\).
Получается сечение: \[ \boxed{E-B_1-F-Q-P}. \]
Проверка: каждая сторона пятиугольника лежит на соответствующей грани куба: \[ EB_1,\quad B_1F,\quad FQ,\quad QP,\quad PE. \]
Если точки \(E\) и \(F\) расположены иначе, возможны также вырожденный вариант \(EB_1FD\) или четырёхугольник \(EB_1FG\), где \(G\in DD_1\).
Обсуждение
2 сообщенияА рисунок
Вот схематичный рисунок сечения \(EB_1FQP\) (не в масштабе):
D₁──────────────C₁
/│ /│
/ │ / │
A₁──────────────B₁ │
│ ╲ ╱ │
│ ╲ ╱ │
E ╲ ╱ F
│ ╲ ╱ │
│ ╲ ╱ │
D───────Q─────────C
╲ ╱
P ╱
╲╱
A──────────────B
Нужно соединить точки по порядку:
\[ \boxed{E\ —\ B_1\ —\ F\ —\ Q\ —\ P\ —\ E}. \]
То есть сечение — пятиугольник \(EB_1FQP\).
