Реши задание на изображении

Пришли, пожалуйста, фото задания № 839 крупнее или перепиши его условие — в текущем сообщении само задание не отображается.

Задание 839 — доказать неравенства при любых действительных \(x\) и \(y\). Представим левые части в виде сумм квадратов.

а)
\[ x^2+4y^2-4xy+2x-4y+3 =(x-2y)^2+2(x-2y)+3 =(x-2y+1)^2+2>0. \]

б)
\[ \begin{aligned} 2x^2+y^2-2xy-4x+4y+5 &=(x-y)^2+x^2-4(x-y)+5\\ &=(x-y-2)^2+x^2+1>0. \end{aligned} \]

в)
\[ \begin{aligned} x^2-4xy+5y^2+2y+2 &=(x-2y)^2+y^2+2y+2\\ &=(x-2y)^2+(y+1)^2+1>0. \end{aligned} \]

г)
\[ \begin{aligned} 5x^2+4xy+y^2+4x+6 &=(2x+y)^2+x^2+4x+6\\ &=(2x+y)^2+(x+2)^2+2>0. \end{aligned} \]

Во всех случаях сумма квадратов дополнена положительным числом, поэтому неравенства доказаны.

Подробно разберём каждый пункт. Используем правило:

\[ A^2\ge 0 \]

для любых действительных \(A\). Поэтому если выражение удаётся представить как сумму квадратов и положительного числа, оно будет строго больше нуля.

а)

Нужно доказать:

\[ x^2+4y^2-4xy+2x-4y+3>0. \]

Сгруппируем первые три слагаемых:

\[ x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2. \]

Следующие два слагаемых можно записать так:

\[ 2x-4y=2(x-2y). \]

Тогда:

\[ \begin{aligned} x^2+4y^2-4xy+2x-4y+3 &=(x-2y)^2+2(x-2y)+3. \end{aligned} \]

Обозначим \(a=x-2y\). Получим:

\[ a^2+2a+3. \]

Выделим полный квадрат:

\[ a^2+2a+3=(a+1)^2+2. \]

Возвращаемся к \(x\) и \(y\):

\[ \boxed{x^2+4y^2-4xy+2x-4y+3=(x-2y+1)^2+2}. \]

Так как

\[ (x-2y+1)^2\ge 0, \]

то

\[ (x-2y+1)^2+2\ge 2>0. \]

Следовательно, неравенство доказано.

---

б)

Нужно доказать:

\[ 2x^2+y^2-2xy-4x+4y+5>0. \]

Выделим квадрат:

\[ x^2-2xy+y^2=(x-y)^2. \]

Оставшиеся слагаемые:

\[ 2x^2+y^2-2xy=(x-y)^2+x^2. \]

Кроме того,

\[ -4x+4y=-4(x-y). \]

Поэтому:

\[ \begin{aligned} 2x^2+y^2-2xy-4x+4y+5 &=(x-y)^2+x^2-4(x-y)+5. \end{aligned} \]

Сгруппируем выражения, содержащие \(x-y\):

\[ (x-y)^2-4(x-y)+5. \]

Выделим полный квадрат:

\[ (x-y)^2-4(x-y)+5 =(x-y-2)^2+1. \]

Действительно,

\[ (x-y-2)^2=(x-y)^2-4(x-y)+4. \]

Значит,

\[ \boxed{2x^2+y^2-2xy-4x+4y+5 =(x-y-2)^2+x^2+1}. \]

Теперь:

\[ (x-y-2)^2\ge 0,\qquad x^2\ge 0. \]

Следовательно,

\[ (x-y-2)^2+x^2+1\ge 1>0. \]

Неравенство доказано.

---

в)

Нужно доказать:

\[ x^2-4xy+5y^2+2y+2>0. \]

Сначала выделим квадрат:

\[ x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2. \]

Представим \(5y^2\) как \(4y^2+y^2\):

\[ \begin{aligned} x^2-4xy+5y^2+2y+2 &=(x^2-4xy+4y^2)+y^2+2y+2\\ &=(x-2y)^2+y^2+2y+2. \end{aligned} \]

Теперь выделим квадрат в выражении \(y^2+2y+2\):

\[ y^2+2y+2=(y+1)^2+1, \]

так как

\[ (y+1)^2=y^2+2y+1. \]

Получаем:

\[ \boxed{x^2-4xy+5y^2+2y+2 =(x-2y)^2+(y+1)^2+1}. \]

Каждый квадрат неотрицателен:

\[ (x-2y)^2\ge 0,\qquad (y+1)^2\ge 0. \]

Поэтому:

\[ (x-2y)^2+(y+1)^2+1\ge 1>0. \]

Неравенство доказано.

---

г)

Нужно доказать:

\[ 5x^2+4xy+y^2+4x+6>0. \]

Выделим квадрат:

\[ 4x^2+4xy+y^2=(2x+y)^2. \]

Представим \(5x^2\) как \(4x^2+x^2\):

\[ \begin{aligned} 5x^2+4xy+y^2+4x+6 &=(4x^2+4xy+y^2)+x^2+4x+6\\ &=(2x+y)^2+x^2+4x+6. \end{aligned} \]

Выделим полный квадрат в выражении \(x^2+4x+6\):

\[ x^2+4x+6=(x+2)^2+2, \]

поскольку

\[ (x+2)^2=x^2+4x+4. \]

Следовательно,

\[ \boxed{5x^2+4xy+y^2+4x+6 =(2x+y)^2+(x+2)^2+2}. \]

Так как

\[ (2x+y)^2\ge 0,\qquad (x+2)^2\ge 0, \]

то

\[ (2x+y)^2+(x+2)^2+2\ge 2>0. \]

Неравенство доказано.

Ответ

Во всех четырёх пунктах исходные выражения представлены в виде суммы квадратов и положительного числа. Поэтому при любых действительных \(x\) и \(y\) они строго положительны.