Реши задание на изображении

Краткий ответ

\[ \boxed{31)\ r=1,\qquad 32)\ r=3,\qquad 33)\ r=2,\qquad 34)\ r=3} \]

Ранг матрицы — это число линейно независимых строк. Элементарные преобразования строк ранг не меняют.

31

\[ A=\begin{pmatrix} 2&1&-1\\ 4&2&-2 \end{pmatrix} \]

Вторая строка в 2 раза больше первой:

\[ R_2=2R_1. \]

Остаётся одна независимая ненулевая строка, поэтому

\[ \boxed{r(A)=1}. \]

32

\[ A=\begin{pmatrix} 1&5&3&-10\\ 3&-1&1&10\\ 2&1&-1&0\\ 7&10&6&-10 \end{pmatrix} \]

Выполним преобразования:

\[ \begin{aligned} R_2&\leftarrow R_2-3R_1,\\ R_3&\leftarrow R_3-2R_1,\\ R_4&\leftarrow R_4-7R_1. \end{aligned} \]

Получим:

\[ \begin{pmatrix} 1&5&3&-10\\ 0&-16&-8&40\\ 0&-9&-7&20\\ 0&-25&-15&60 \end{pmatrix}. \]

Здесь

\[ R_4=R_2+R_3, \]

поэтому строка \(R_4\) зависима. Но первые три строки независимы, например:

\[ \begin{vmatrix} 1&5&3\\ 3&-1&1\\ 2&1&-1 \end{vmatrix}=40\ne0. \]

Следовательно,

\[ \boxed{r(A)=3}. \]

33

\[ A=\begin{pmatrix} 1&2&3&-1&8\\ 2&-1&-4&3&1\\ 4&-7&-18&11&-13\\ 3&1&-1&2&9 \end{pmatrix} \]

Вычтем из строк \(2R_1,\ 4R_1,\ 3R_1\) соответственно:

\[ \begin{pmatrix} 1&2&3&-1&8\\ 0&-5&-10&5&-15\\ 0&-15&-30&15&-45\\ 0&-5&-10&5&-15 \end{pmatrix}. \]

Видно, что

\[ R_3=3R_2,\qquad R_4=R_2. \]

Независимы только две строки:

\[ \boxed{r(A)=2}. \]

34

\[ A=\begin{pmatrix} 1&0&2&-1&3\\ 3&-2&0&-4&7\\ 2&2&10&-1&8\\ 1&-2&-4&5&2 \end{pmatrix} \]

Преобразуем:

\[ \begin{aligned} R_2&\leftarrow R_2-3R_1,\\ R_3&\leftarrow R_3-2R_1,\\ R_4&\leftarrow R_4-R_1. \end{aligned} \]

Получим:

\[ \begin{pmatrix} 1&0&2&-1&3\\ 0&-2&-6&-1&-2\\ 0&2&6&1&2\\ 0&-2&-6&6&-1 \end{pmatrix}. \]

Теперь \(R_3=-R_2\), а после вычитания \(R_2\) из \(R_4\):

\[ \begin{pmatrix} 1&0&2&-1&3\\ 0&-2&-6&-1&-2\\ 0&0&0&7&1\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}. \]

Три ненулевые строки, значит

\[ \boxed{r(A)=3}. \]