367, 370

Краткий ответ

367:
а) \(180\); б) \(50\); в) \(48\); г) \(28\);
д) \(30\); е) \(6\); ж) \(24\); з) \(2{,}6\).

370:
а) \(15\); б) \(5\); в) \(80\); г) \(45\); д) \(6\); е) \(\dfrac{15}{16}\).

367. Вычисление корней

Используем правило: \(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\), а также стараемся получить под корнем полный квадрат.

\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad &\sqrt{810\cdot40} =\sqrt{(81\cdot10)(4\cdot10)} =\sqrt{180^2}=180;\\[2mm] \text{б)}\quad &\sqrt{10\cdot250} =\sqrt{2500}=50;\\[2mm] \text{в)}\quad &\sqrt{72\cdot32} =\sqrt{(9\cdot8)(4\cdot8)} =\sqrt{48^2}=48;\\[2mm] \text{г)}\quad &\sqrt{8\cdot98} =\sqrt{(4\cdot2)(49\cdot2)} =\sqrt{28^2}=28;\\[2mm] \text{д)}\quad &\sqrt{50\cdot18} =\sqrt{(25\cdot2)(9\cdot2)} =\sqrt{30^2}=30;\\[2mm] \text{е)}\quad &\sqrt{2{,}5\cdot14{,}4} =\sqrt{36}=6;\\[2mm] \text{ж)}\quad &\sqrt{90\cdot6{,}4} =\sqrt{576}=24;\\[2mm] \text{з)}\quad &\sqrt{16{,}9\cdot0{,}4} =\sqrt{6{,}76}=2{,}6. \end{aligned} \]

370. Извлечение корня

Главное тождество:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]

\[ \begin{aligned} \text{а)}\quad &\sqrt{17^2-8^2} =\sqrt{(17-8)(17+8)} =\sqrt{9\cdot25}=15;\\[2mm] \text{б)}\quad &\sqrt{3^2+4^2} =\sqrt{9+16} =\sqrt{25}=5;\\[2mm] \text{в)}\quad &\sqrt{82^2-18^2} =\sqrt{(82-18)(82+18)} =\sqrt{64\cdot100}=80;\\[2mm] \text{г)}\quad &\sqrt{117^2-108^2} =\sqrt{(117-108)(117+108)} =\sqrt{9\cdot225}=45;\\[2mm] \text{д)}\quad &\sqrt{6{,}8^2-3{,}2^2} =\sqrt{(6{,}8-3{,}2)(6{,}8+3{,}2)} =\sqrt{3{,}6\cdot10}=6;\\[2mm] \text{е)}\quad &\sqrt{\left(1\frac1{16}\right)^2-\left(\frac12\right)^2}\\ &=\sqrt{\left(\frac{17}{16}-\frac8{16}\right) \left(\frac{17}{16}+\frac8{16}\right)}\\ &=\sqrt{\frac9{16}\cdot\frac{25}{16}} =\sqrt{\frac{225}{256}} =\frac{15}{16}. \end{aligned} \]

Проверка: например, \(24^2=576=90\cdot6{,}4\), а \(\left(\frac{15}{16}\right)^2=\frac{225}{256}\), что совпадает с подкоренным выражением в пункте 370 е).