Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(24\)
2. \(125\)
3. \(3\)
4. \(27\)
5. \(12\)

Используем свойства степеней:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}. \]

1.

\[ \frac{24^4}{3^3\cdot 8^3} \]

Так как \(24=3\cdot8\), то:

\[ \frac{(3\cdot8)^4}{3^3\cdot8^3} = \frac{3^4\cdot8^4}{3^3\cdot8^3} = 3^{4-3}\cdot8^{4-3} = 3\cdot8=24. \]

2.

\[ 5^{-7}\cdot(5^5)^2 \]

Сначала возводим степень в степень:

\[ (5^5)^2=5^{10}. \]

Тогда:

\[ 5^{-7}\cdot5^{10}=5^{-7+10}=5^3=125. \]

3.

\[ \frac{1}{3^{-8}}\cdot\frac{1}{3^7} \]

Деление на \(3^{-8}\) означает умножение на \(3^8\):

\[ \frac{1}{3^{-8}}\cdot\frac{1}{3^7} = 3^8\cdot3^{-7} = 3^{8-7}=3. \]

4.

\[ \frac{3^{-5}\cdot3^{15}}{3^7} \]

Объединяем степени с одинаковым основанием:

\[ 3^{-5+15-7}=3^3=27. \]

5.

\[ \frac{18^n}{3^{2n-1}\cdot2^{n-2}} \]

Представим \(18\) в виде произведения простых множителей:

\[ 18^n=(2\cdot3^2)^n=2^n\cdot3^{2n}. \]

Тогда:

\[ \frac{2^n\cdot3^{2n}}{3^{2n-1}\cdot2^{n-2}} = 2^{n-(n-2)}\cdot3^{2n-(2n-1)}. \]

\[ =2^2\cdot3^1=4\cdot3=12. \]

Проверка для № 5: при \(n=2\)

\[ \frac{18^2}{3^3\cdot2^0} = \frac{324}{27}=12. \]