8
Краткий ответ:
а) \(\boxed{\sin^2\alpha}\);
б) \(\boxed{\sin\beta-\cos\beta}\);
в) \(\boxed{\tg\alpha}\);
г) \(\boxed{-1}\).
Решение
Используем тождества:
\[ \sin^2 x+\cos^2 x=1,\qquad 1+\tg^2x=\frac1{\cos^2x},\qquad \ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}. \]
а)
\[ \begin{aligned} \cos^2\alpha-\cos^4\alpha+\sin^4\alpha &=\cos^2\alpha(1-\cos^2\alpha)+\sin^4\alpha\\ &=\cos^2\alpha\sin^2\alpha+\sin^4\alpha\\ &=\sin^2\alpha(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)\\ &=\sin^2\alpha. \end{aligned} \]
б)
\[ \begin{aligned} \frac{1-2\cos^2\beta}{\cos\beta+\sin\beta} &=\frac{\sin^2\beta+\cos^2\beta-2\cos^2\beta} {\cos\beta+\sin\beta}\\ &=\frac{\sin^2\beta-\cos^2\beta} {\cos\beta+\sin\beta}\\ &=\frac{(\sin\beta-\cos\beta)(\sin\beta+\cos\beta)} {\sin\beta+\cos\beta}\\ &=\sin\beta-\cos\beta. \end{aligned} \]
Здесь \(\sin\beta+\cos\beta\ne0\).
в)
\[ \begin{aligned} (\sin^2\alpha+\tg^2\alpha\sin^2\alpha)\ctg\alpha &=\sin^2\alpha(1+\tg^2\alpha)\ctg\alpha\\ &=\sin^2\alpha\cdot\frac1{\cos^2\alpha} \cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\\ &=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\ &=\tg\alpha. \end{aligned} \]
г)
\[ \begin{aligned} \frac{\sin^2t-1}{\cos^4t}+\tg^2t &=\frac{-\cos^2t}{\cos^4t}+\tg^2t\\ &=-\frac1{\cos^2t}+\tg^2t\\ &=-(1+\tg^2t)+\tg^2t\\ &=-1. \end{aligned} \]
В последних двух выражениях исходные формулы определены при ненулевых знаменателях.
Обсуждение
22 сообщенияНе панила
Ничего страшного, давай разберём проще. Какой пункт непонятен: а, б, в или г?
Все
Давай разберём совсем подробно и простыми шагами.
Формулы, которые понадобятся
\[ \sin^2 x+\cos^2 x=1, \]
\[ 1+\tg^2x=\frac1{\cos^2x}, \]
\[ \ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}. \]
Ответы:
\[ \boxed{\text{а) }\sin^2\alpha},\qquad \boxed{\text{б) }\sin\beta-\cos\beta}, \]
\[ \boxed{\text{в) }\tg\alpha},\qquad \boxed{\text{г) }-1}. \]
а)
\[ \cos^2\alpha-\cos^4\alpha+\sin^4\alpha \]
Сначала вынесем \(\cos^2\alpha\) в первых двух слагаемых:
\[ \cos^2\alpha(1-\cos^2\alpha)+\sin^4\alpha. \]
Так как
\[ 1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha, \]
получаем:
\[ \cos^2\alpha\sin^2\alpha+\sin^4\alpha. \]
Теперь вынесем \(\sin^2\alpha\):
\[ \sin^2\alpha(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha). \]
В скобках:
\[ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1. \]
Значит,
\[ \boxed{\sin^2\alpha}. \]
б)
\[ \frac{1-2\cos^2\beta}{\cos\beta+\sin\beta} \]
Заменим \(1\) на \(\sin^2\beta+\cos^2\beta\):
\[ \frac{\sin^2\beta+\cos^2\beta-2\cos^2\beta} {\cos\beta+\sin\beta}. \]
Упростим числитель:
\[ \sin^2\beta-\cos^2\beta. \]
Разность квадратов раскладывается так:
\[ \sin^2\beta-\cos^2\beta = (\sin\beta-\cos\beta)(\sin\beta+\cos\beta). \]
Тогда:
\[ \frac{(\sin\beta-\cos\beta)(\sin\beta+\cos\beta)} {\sin\beta+\cos\beta}. \]
Одинаковые множители сокращаются:
\[ \boxed{\sin\beta-\cos\beta}. \]
в)
\[ (\sin^2\alpha+\tg^2\alpha\cdot\sin^2\alpha)\ctg\alpha \]
Вынесем \(\sin^2\alpha\) за скобки:
\[ \sin^2\alpha(1+\tg^2\alpha)\ctg\alpha. \]
Используем формулы:
\[ 1+\tg^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}, \qquad \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]
Получаем:
\[ \sin^2\alpha\cdot \frac1{\cos^2\alpha}\cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]
Сокращаем:
\[ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. \]
А это и есть тангенс:
\[ \boxed{\tg\alpha}. \]
г)
\[ \frac{\sin^2 t-1}{\cos^4 t}+\tg^2t \]
Из формулы
\[ \sin^2t+\cos^2t=1 \]
следует:
\[ \sin^2t-1=-\cos^2t. \]
Подставим:
\[ \frac{-\cos^2t}{\cos^4t}+\tg^2t. \]
Сокращаем степени косинуса:
\[ -\frac1{\cos^2t}+\tg^2t. \]
Но
\[ \frac1{\cos^2t}=1+\tg^2t. \]
Поэтому:
\[ -(1+\tg^2t)+\tg^2t. \]
Раскрываем скобки:
\[ -1-\tg^2t+\tg^2t=-1. \]
Ответ:
\[ \boxed{-1}. \]
🤷♀️
Понимаю 🤷♀️ Там сразу слишком много формул. Давай по одному пункту, без спешки. Начнём с самого короткого — г):
\[ \frac{\sin^2 t-1}{\cos^4 t}+\tg^2t \]
Из формулы
\[ \sin^2t+\cos^2t=1 \]
получаем:
\[ \sin^2t-1=-\cos^2t. \]
Подставляем:
\[ \frac{-\cos^2t}{\cos^4t}+\tg^2t = -\frac1{\cos^2t}+\tg^2t. \]
А
\[ \frac1{\cos^2t}=1+\tg^2t. \]
Значит:
\[ -(1+\tg^2t)+\tg^2t=-1. \]
Ответ:
\[ \boxed{-1} \]
Главная идея: заменить \(\sin^2t-1\) на \(-\cos^2t\).
🤷♀️
Похоже, я объяснил слишком сложно — это нормально. Начнём только с одного шага:
\[ \sin^2 t+\cos^2 t=1. \]
Если перенести \(1\) влево, получится:
\[ \sin^2 t-1=-\cos^2 t. \]
Понятно, откуда взялся этот переход?
И
Дальше подставляем:
\[ \frac{\sin^2t-1}{\cos^4t}+\tg^2t = \frac{-\cos^2t}{\cos^4t}+\tg^2t. \]
Сокращаем:
\[ \frac{-\cos^2t}{\cos^4t} = -\frac1{\cos^2t}. \]
Получается:
\[ -\frac1{\cos^2t}+\tg^2t. \]
А \(\frac1{\cos^2t}=1+\tg^2t\), значит:
\[ -(1+\tg^2t)+\tg^2t=-1. \]
Ответ: \(\boxed{-1}\).
Давай пашагаво режим в
Да, решим пункт в пошагово. На каждом шаге меняем только одно.
Дано:
\[ (\sin^2\alpha+\tg^2\alpha\cdot\sin^2\alpha)\ctg\alpha \]
Шаг 1. Выносим \(\sin^2\alpha\) за скобки
\[ \sin^2\alpha(1+\tg^2\alpha)\ctg\alpha \]
Шаг 2. Используем формулу
\[ 1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha} \]
Подставляем:
\[ \sin^2\alpha\cdot\frac{1}{\cos^2\alpha}\cdot\ctg\alpha \]
Шаг 3. Заменяем котангенс
\[ \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \]
Получаем:
\[ \sin^2\alpha\cdot\frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \]
Шаг 4. Сокращаем
\[ \frac{\sin^2\alpha\cdot\cos\alpha} {\cos^2\alpha\cdot\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \]
А
\[ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tg\alpha. \]
Ответ:
\[ \boxed{\tg\alpha} \]
Окууда косинус
Косинус появился при замене \(\tg\) и \(\ctg\) через синус:
\[ \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]
Кроме того,
\[ 1+\tg^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}. \]
Почему? Потому что:
\[ 1+\tg^2\alpha = 1+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac1{\cos^2\alpha}. \]
Значит, косинус не взялся случайно — он появился из формул для тангенса и котангенса.
🤷♀️
Не страшно, я слишком усложнил. Запомни пока только это:
\[ \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]
То есть косинус спрятан внутри \(\tg\) и \(\ctg\). Поэтому он появился, когда мы заменили эти обозначения дробями:
\[ \ctg\alpha\ \longrightarrow\ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]
Начнём заново только с этой замены?
Обисни г
Разберём пункт г) очень медленно.
Дано:
\[ \frac{\sin^2 t-1}{\cos^4 t}+\tg^2t \]
Шаг 1
Из формулы
\[ \sin^2t+\cos^2t=1 \]
следует:
\[ \sin^2t-1=-\cos^2t. \]
Поэтому заменяем \(\sin^2t-1\):
\[ \frac{-\cos^2t}{\cos^4t}+\tg^2t. \]
Шаг 2
Сокращаем \(\cos^2t\):
\[ \frac{-\cos^2t}{\cos^4t} = -\frac1{\cos^2t}. \]
Получаем:
\[ -\frac1{\cos^2t}+\tg^2t. \]
Шаг 3
Используем формулу:
\[ \frac1{\cos^2t}=1+\tg^2t. \]
Тогда:
\[ -(1+\tg^2t)+\tg^2t. \]
Шаг 4
Раскрываем скобки:
\[ -1-\tg^2t+\tg^2t. \]
Одинаковые слагаемые уничтожаются:
\[ -\tg^2t+\tg^2t=0. \]
Остаётся:
\[ \boxed{-1}. \]
Разберём **пункт г)** очень медленно. Дано: \[ \frac{\sin^2 t-1}{\cos^4 t}+\tg^2t \] ### Шаг 1 Из формулы \[ \sin^2t+\cos^2t=1 \] следует: \[ \sin^2t-1=-\cos^2t. \] Поэтому заменяем \(\sin^2t-1\): \[ \frac{-\cos^2t}{\cos^4t}+\tg^2t. \] ### Шаг 2 Сокращаем \(\cos^2t\): \[ \frac{-\cos^2t}{\cos^4t} = -\frac1{\cos^2t}. \] Получаем: \[ -\frac1{\cos^2t}+\tg^2t. \] ### Шаг 3 Используем формулу: \[ \frac1{\cos^2t}=1+\tg^2t. \] Тогда: \[ -(1+\tg^2t)+\tg^2t. \] ### Шаг 4 Раскрываем скобки: \[ -1-\tg^2t+\tg^2t. \] Одинаковые слагаемые уничтожаются: \[ -\tg^2t+\tg^2t=0. \] Остаётся: \[ \boxed{-1}. \] не панимаю как ты пишеш
Понял. Я напишу обычными словами и маленькими шагами.
Нужно упростить:
\[ \frac{\sin^2 t-1}{\cos^4 t}+\tg^2 t \]
Это читается так:
синус \(t\) в квадрате минус 1, делённое на косинус \(t\) в четвёртой степени, плюс тангенс \(t\) в квадрате.
1. Используем главное равенство
\[ \sin^2 t+\cos^2 t=1. \]
Значит,
\[ \sin^2 t=1-\cos^2 t. \]
Теперь вычитаем 1:
\[ \sin^2 t-1=-\cos^2 t. \]
2. Заменяем эту часть в выражении
Было:
\[ \frac{\sin^2 t-1}{\cos^4 t}+\tg^2t \]
Стало:
\[ \frac{-\cos^2 t}{\cos^4 t}+\tg^2t. \]
3. Упрощаем дробь
\[ \cos^4t=\cos^2t\cdot\cos^2t. \]
Поэтому:
\[ \frac{-\cos^2t}{\cos^4t} = -\frac1{\cos^2t}. \]
Получаем:
\[ -\frac1{\cos^2t}+\tg^2t. \]
4. Используем равенство
\[ \frac1{\cos^2t}=1+\tg^2t. \]
Тогда:
\[ -(1+\tg^2t)+\tg^2t. \]
Раскрываем скобки:
\[ -1-\tg^2t+\tg^2t. \]
Два последних слагаемых уничтожаются:
\[ -\tg^2t+\tg^2t=0. \]
Остаётся:
\[ \boxed{-1}. \]
Главный переход здесь такой:
\[ \sin^2t-1=-\cos^2t. \]
🤷♀️
Похоже, тебе непонятна сама запись. Расшифруем:
- \(\sin^2 t\) — это \(\sin t\cdot\sin t\);
- \(\cos^4 t\) — это \(\cos t\cdot\cos t\cdot\cos t\cdot\cos t\);
- \(\tg^2t\) — это \(\tg t\cdot\tg t\).
А всё решение можно временно записать так:
\[ \frac{\sin^2t-1}{\cos^4t}+\tg^2t = -\frac1{\cos^2t}+\tg^2t = -(1+\tg^2t)+\tg^2t = -1. \]
То есть в конце просто сокращаются \( -\tg^2t\) и \(+\tg^2t\). Какая запись непонятна больше всего: \(\sin^2t\), дробь или \(\tg^2t\)?
