Номер 165

Краткий ответ:

1. \(x=0\) или \(x=\dfrac65\);
2. \(x=\pm\dfrac95\);
3. \(x=2\) или \(x=-\dfrac14\);
4. \(x=\dfrac13\) или \(x=-3\);
5. \(x=3\) или \(x=-4\);
6. действительных корней нет.

Решение

1)
\[ 6x-5x^2=0 \] Вынесем \(x\) за скобки: \[ x(6-5x)=0. \] Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x=0 \quad\text{или}\quad 6-5x=0. \] \[ x=0 \quad\text{или}\quad x=\frac65. \]

2)
\[ 25x^2=81 \] \[ (5x)^2=81, \] значит, \[ 5x=\pm9,\qquad x=\pm\frac95. \]

Для квадратного уравнения
\[ ax^2+bx+c=0 \] используем дискриминант: \[ D=b^2-4ac, \] а корни находим по формуле: \[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]

3)
\[ 4x^2-7x-2=0. \] \[ D=(-7)^2-4\cdot4\cdot(-2)=49+32=81. \] \[ x=\frac{7\pm9}{8}. \] \[ x_1=2,\qquad x_2=-\frac14. \]

4)
\[ 3x^2+8x-3=0. \] \[ D=8^2-4\cdot3\cdot(-3)=64+36=100. \] \[ x=\frac{-8\pm10}{6}. \] \[ x_1=\frac13,\qquad x_2=-3. \]

5)
\[ x^2+x-12=0. \] \[ D=1^2-4\cdot1\cdot(-12)=1+48=49. \] \[ x=\frac{-1\pm7}{2}. \] \[ x_1=3,\qquad x_2=-4. \]

6)
\[ 2x^2+6x+7=0. \] \[ D=6^2-4\cdot2\cdot7=36-56=-20. \] Так как \(D<0\), действительных корней нет.

Проверка

Для квадратного уравнения сумма корней равна \(-\dfrac ba\), а произведение — \(\dfrac ca\).

Например, в пункте 5: \[ 3+(-4)=-1=-\frac11,\qquad 3\cdot(-4)=-12=\frac{-12}{1}. \] Значит, найденные корни верны.