ответ с функциями
Вычисление промежутков монотонности
Мне нужно использовать производные, чтобы найти промежутки возрастания и убывания заданных функций.
Для первой функции я нахожу, что она убывает от отрицательной бесконечности до 1 и возрастает начиная с 1.
Вторая функция возрастает от отрицательной бесконечности до 2, а после этого убывает.
Третья функция возрастает от отрицательной бесконечности до 0 и от 2 до бесконечности, убывая между 0 и 2.
Наконец, четвёртая функция возрастает от отрицательной бесконечности до 0 и начиная с 1, убывая от 0 до 1.
Проверка математических свойств
Мне нужно проверить знаки по обе стороны от критических точек и старший коэффициент. Возможно, не стоит быть слишком многословным. Следует ли мне указать соглашение относительно концов промежутков? Промежутки монотонности показывают, что функция убывает на \((-∞, 1]\) и возрастает на \([1, +∞)\), но в распространённых ответах часто используются открытые промежутки, например \((-∞, 1)\). Также мне нужно отметить, что константы не влияют на значение функции. Наконец, возможно, константа в уравнении равна \(+p\). Давайте перепроверим!
Краткий ответ
\(y=2x^2-4x+5\)
Убывает на \((-\infty;1)\), возрастает на \((1;+\infty)\).\(y=-x^2+4x+\text{const}\)
Возрастает на \((-\infty;2)\), убывает на \((2;+\infty)\).
Свободный член на промежутки не влияет.\(y=x^3-3x^2+1\)
Возрастает на \((-\infty;0)\) и \((2;+\infty)\), убывает на \((0;2)\).\(y=\dfrac13x^3-\dfrac12x^2+6\)
Возрастает на \((-\infty;0)\) и \((1;+\infty)\), убывает на \((0;1)\).
Как получили
Используем правило:
- если \(f'(x)>0\), функция возрастает;
- если \(f'(x)<0\), функция убывает.
1)
\[
y'=4x-4=4(x-1).
\]
Производная отрицательна при \(x<1\) и положительна при \(x>1\).
2)
\[
y'=-2x+4=-2(x-2).
\]
Производная положительна при \(x<2\) и отрицательна при \(x>2\).
3)
\[
y'=3x^2-6x=3x(x-2).
\]
Критические точки: \(x=0\) и \(x=2\).
Знаки производной: \[ +\quad|_{0}\quad-\quad|_{2}\quad+ \] Значит, функция сначала возрастает, затем убывает, потом снова возрастает.
4)
\[
y'=x^2-x=x(x-1).
\]
Критические точки: \(x=0\) и \(x=1\).
Знаки производной: \[ +\quad|_{0}\quad-\quad|_{1}\quad+ \]
Проверка выполнена по знакам производной на каждом промежутке.
Обсуждение
2 сообщенияПокажи, как составить таблицу знаков производной Можешь показать функции построения
Да. Таблица знаков составляется по производной, а не по самой функции.
Пример
Рассмотрим функцию:
\[ f(x)=x^3-3x^2+1. \]
Находим производную:
\[ f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2). \]
1. Находим нули производной
\[ 3x(x-2)=0. \]
Отсюда:
\[ x=0,\qquad x=2. \]
Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы:
\[ (-\infty;0),\quad (0;2),\quad (2;+\infty). \]
2. Составляем таблицу знаков
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;0) & 0 & (0;2) & 2 & (2;+\infty)\\ \hline x & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & 0 & +\\ 3 & + & + & + & + & +\\ \hline f'(x)=3x(x-2) & + & 0 & - & 0 & + \end{array} \]
3. Делаем вывод
- \(f'(x)>0\) на \((-\infty;0)\) и \((2;+\infty)\), значит функция возрастает;
- \(f'(x)<0\) на \((0;2)\), значит функция убывает.
Схематично:
\[ \nearrow\quad x=0\quad\searrow\quad x=2\quad\nearrow \]
Таблицы для остальных функций
1. \(y=2x^2-4x+5\)
\[ y'=4(x-1). \]
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;1) & 1 & (1;+\infty)\\ \hline x-1 & - & 0 & +\\ 4 & + & + & +\\ \hline y' & - & 0 & + \end{array} \]
Значит:
\[ \text{убывает на }(-\infty;1),\qquad \text{возрастает на }(1;+\infty). \]
2. \(y=-x^2+4x+C\)
Здесь \(C\) — свободный член.
\[ y'=-2(x-2). \]
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;2) & 2 & (2;+\infty)\\ \hline x-2 & - & 0 & +\\ -2 & - & - & -\\ \hline y' & + & 0 & - \end{array} \]
Значит:
\[ \text{возрастает на }(-\infty;2),\qquad \text{убывает на }(2;+\infty). \]
3. \(y=x^3-3x^2+1\)
\[ y'=3x(x-2). \]
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;0) & 0 & (0;2) & 2 & (2;+\infty)\\ \hline x & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & 0 & +\\ \hline y' & + & 0 & - & 0 & + \end{array} \]
4. \(y=\dfrac13x^3-\dfrac12x^2+6\)
\[ y'=x(x-1). \]
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;0) & 0 & (0;1) & 1 & (1;+\infty)\\ \hline x & - & 0 & + & + & +\\ x-1 & - & - & - & 0 & +\\ \hline y' & + & 0 & - & 0 & + \end{array} \]
Значит функция:
\[ \text{возрастает на }(-\infty;0)\text{ и }(1;+\infty), \]
\[ \text{убывает на }(0;1). \]
Как построить график по таблице
Сначала отмечаем точки экстремума:
\[ \begin{array}{c|c} \text{Функция} & \text{Важные точки}\\ \hline y=2x^2-4x+5 & (1;3)\text{ — вершина}\\ y=-x^2+4x+C & (2;C+4)\text{ — вершина}\\ y=x^3-3x^2+1 & (0;1)\text{ — максимум},\ (2;-3)\text{ — минимум}\\ y=\frac13x^3-\frac12x^2+6 & (0;6)\text{ — максимум},\ (1;\frac{35}{6})\text{ — минимум} \end{array} \]
Затем по стрелкам из таблицы проводим кривую:
\[ \begin{aligned} &y=2x^2-4x+5:\quad \searrow (1;3)\nearrow;\\ &y=-x^2+4x+C:\quad \nearrow (2;C+4)\searrow;\\ &y=x^3-3x^2+1:\quad \nearrow(0;1)\searrow(2;-3)\nearrow;\\ &y=\frac13x^3-\frac12x^2+6:\quad \nearrow(0;6)\searrow\left(1;\frac{35}{6}\right)\nearrow. \end{aligned} \]
Для точного построения второй параболы нужно знать значение \(C\).
