Реши задание на изображении

Решаю №582 — он выделен на фото. Полностью читаются пункты 1 и 3; формулы 2 и 4 обрезаны.

Краткий ответ

1. \(y=\sqrt{x^2-3x+2}\) — верхние части двух ветвей гиперболы: \[ \left(x-\frac32\right)^2-y^2=\frac14,\qquad y\ge 0. \]

2. \(y=\dfrac1{x^2+7x-8}\) — график с вертикальными асимптотами \(x=-8\), \(x=1\) и горизонтальной асимптотой \(y=0\).

1) \(y=\sqrt{x^2-3x+2}\)

Разложим подкоренное выражение: \[ x^2-3x+2=(x-1)(x-2). \]

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ (x-1)(x-2)\ge0. \]

Отсюда область определения: \[ D(y)=(-\infty;1]\cup[2;+\infty). \]

Возведём уравнение в квадрат: \[ y^2=x^2-3x+2. \]

Выделим полный квадрат: \[ y^2=\left(x-\frac32\right)^2-\frac14, \] \[ \left(x-\frac32\right)^2-y^2=\frac14. \]

Это гипербола с вершинами: \[ (1;0),\qquad (2;0). \]

Так как \(y=\sqrt{\ldots}\), берём только верхнюю часть графика. Удобные точки: \[ (0;\sqrt2),\qquad (3;\sqrt2). \]

График не существует при \(1<x<2\).

3) \(y=\dfrac1{x^2+7x-8}\)

Разложим знаменатель: \[ x^2+7x-8=(x+8)(x-1). \]

Поэтому: \[ y=\frac1{(x+8)(x-1)}. \]

Область определения: \[ D(y)=\mathbb R\setminus\{-8;1\}. \]

Вертикальные асимптоты: \[ x=-8,\qquad x=1. \]

Горизонтальная асимптота: \[ y=0. \]

Знаки функции:

• при \(x<-8\): \(y>0\);
• при \(-8<x<1\): \(y<0\);
• при \(x>1\): \(y>0\).

Для средней ветви: \[ x^2+7x-8=\left(x+\frac72\right)^2-\frac{81}{4}. \]

При \(x=-\frac72\) знаменатель минимален, поэтому: \[ y=\frac1{-81/4}=-\frac4{81}. \]

Точка: \[ \left(-\frac72;-\frac4{81}\right). \]

Также можно отметить: \[ (0;-\tfrac18),\qquad (-7;-\tfrac18). \]

Поведение ветвей:

• на \((-\infty;-8)\) график расположен выше оси \(Ox\), от \(0\) стремится к \(+\infty\);
• на \((-8;1)\) график ниже оси \(Ox\), достигает наибольшего значения \(-\frac4{81}\);
• на \((1;+\infty)\) график расположен выше оси \(Ox\), от \(+\infty\) стремится к \(0\).

Формулы пунктов 2 и 4 на правом краю фотографии обрезаны, поэтому их нельзя восстановить без угадывания.