Конспект
Краткий ответ: на фото повторяются степени с целыми показателями, геометрическая прогрессия, степенные функции и формула сложных процентов.
Главные формулы:
\[ a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}, \]
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}, \]
\[ a_n=a_1q^{\,n-1},\qquad S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}, \]
\[ A_n=A\left(1+\frac{x}{100}\right)^n. \]
Конспект
1. Степень с целым показателем
Для натурального \(n\):
\[ a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ множителей}}. \]
Для \(a\ne0\):
\[ a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac1{a^n}. \]
Например:
\[ 2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18,\qquad 2^0=1,\qquad 2^4=16. \]
Свойства степеней
При одинаковом основании:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}; \]
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}; \]
\[ (a^m)^n=a^{mn}. \]
Пример:
\[ (a^{-3})^{-4}=a^{(-3)\cdot(-4)}=a^{12}. \]
2. Сравнение степеней
Сначала степени удобно привести к одному основанию.
Если основание \(a>1\), то большему показателю соответствует большее число:
\[ m<n\Rightarrow a^m<a^n. \]
Например:
\[ \left(\frac14\right)^{-3}=2^6,\quad 4^2=2^4,\quad \left(\frac14\right)^0=2^0,\quad 2^{-2}=2^{-2},\quad 8^{-1}=2^{-3}. \]
Так как
\[ -3<-2<0<4<6, \]
то
\[ 8^{-1}<2^{-2}<\left(\frac14\right)^0<4^2< \left(\frac14\right)^{-3}. \]
Если \(0<a<1\), порядок при сравнении степеней меняется на противоположный.
3. Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число \(q\):
\[ a_2=a_1q,\qquad a_3=a_2q. \]
Число \(q\) называют знаменателем прогрессии.
Формула общего члена
\[ a_n=a_1q^{n-1}. \]
Сумма первых \(n\) членов
При \(q\ne1\):
\[ S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}. \]
Если \(q=1\), то:
\[ S_n=na_1. \]
Пример
Дано:
\[ a_2=3,\qquad a_5=81. \]
От \(a_2\) до \(a_5\) — три шага:
\[ a_5=a_2q^3. \]
Тогда:
\[ 81=3q^3,\qquad q^3=27,\qquad q=3. \]
Найдём первый член:
\[ a_2=a_1q,\qquad 3=3a_1,\qquad a_1=1. \]
Сумма первых десяти членов:
\[ S_{10}=1\cdot\frac{3^{10}-1}{3-1} =\frac{59049-1}{2}=29524. \]
4. Степенная функция
Степенная функция имеет вид:
\[ y=kx^m, \]
где \(k\) — постоянное число, \(m\) — целое число.
Основные случаи:
| \(m\) | Функция | Вид зависимости |
|---|---|---|
| \(1\) | \(y=kx\) | прямая пропорциональность |
| \(-1\) | \(y=\dfrac{k}{x}\) | обратная пропорциональность |
| \(2\) | \(y=kx^2\) | квадратичная зависимость |
| \(3\) | \(y=kx^3\) | кубическая зависимость |
При отрицательной степени \(x\ne0\).
Графики при \(k=1\):
- \(y=x\) — прямая;
- \(y=\dfrac1x\) — гипербола;
- \(y=x^2\) — парабола;
- \(y=x^3\) — кубическая кривая.
5. Нахождение наибольшего значения
Для функции
\[ y=\frac1x \]
на отрезке \([-2;-1]\) функция убывает. Поэтому наибольшее значение она принимает в левой точке:
\[ y(-2)=\frac1{-2}=-\frac12. \]
Проверка:
\[ -\frac12>-1, \]
значит,
\[ \boxed{M=-\frac12}. \]
Важно: среди отрицательных чисел большим является то, которое ближе к нулю.
6. Сложные проценты
Пусть первоначальный вклад равен \(A\), а ежегодная процентная ставка — \(x\%\).
За один год вклад умножается на коэффициент:
\[ q=1+\frac{x}{100}. \]
После \(n\) лет:
\[ \boxed{A_n=A\left(1+\frac{x}{100}\right)^n}. \]
Это формула сложных процентов.
Например, при ставке \(10\%\):
\[ q=1+\frac{10}{100}=1{,}1, \]
поэтому:
\[ A_n=A\cdot1{,}1^n. \]
За каждый год вклад умножается на \(1{,}1\), а не увеличивается каждый раз на одну и ту же сумму.
Как решать похожие задания
- При упрощении степеней применяй свойства степеней.
- При сравнении приводи числа к одному основанию.
- В геометрической прогрессии сначала находи \(q\), затем \(a_1\) или нужный член.
- Для наибольшего значения функции исследуй её возрастание или убывание и проверь концы отрезка.
- В задачах о вкладе используй множитель \(1+\dfrac{x}{100}\) и возводи его в степень, равную числу лет.
